随机变量
相关概念
随机变量
给定概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P)
，定义在样本空间 ΩΩ 上的函数 𝑋 :Ω →ℝX:Ω→R 若满足：对任意 𝑡 ∈ℝt∈R 都有
{𝜔∈Ω:𝑋(𝜔)≤𝑡}∈F{ω∈Ω:X(ω)≤t}∈F
则称 𝑋X 为 随机变量 ．
示性函数
对于样本空间 ΩΩ 上的事件 𝐴A，定义随机变量
𝐼𝐴(𝜔)={1,𝜔∈𝐴0,𝜔∉𝐴IA(ω)={1,ω∈A0,ω∉A
称 𝐼𝐴IA 是事件 𝐴A 的 示性函数 ．
分布函数
对于随机变量 𝑋X，称函数
𝐹(𝑥)=𝑃(𝑋≤𝑥)F(x)=P(X≤x)
为随机变量 𝑋X 的 分布函数 ．记作 𝑋 ∼𝐹(𝑥)X∼F(x)．
分布函数具有以下性质：
- 右连续性 ：𝐹(𝑥) =𝐹(𝑥 +0)F(x)=F(x+0)
- 单调性 ：在 ℝR 上单调递增（非严格）
- 𝐹( −∞) =0F(−∞)=0,𝐹( +∞) =1F(+∞)=1
同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数．因此，分布函数与随机变量之间一一对应．
随机变量的分类
随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 离散型 和 连续型 两种．
离散型随机变量
设 𝑋X 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 𝑥1,𝑥2,⋯x1,x2,⋯，则我们可以用一系列形如 𝑃{𝑋 =𝑥𝑖} =𝑝𝑖P{X=xi}=pi 的等式来描述 𝑋X．这就是我们在高中课本中学过的 分布列 ．
连续型随机变量
设 𝑋X 为连续型随机变量，考察 𝑃{𝑋 =𝑥}P{X=x} 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 00）．
为什么说概率「很可能」是 00
考虑这样的随机变量 𝑋X：它以 1212 的概率取 00，以 1212 的概率服从开区间 (0,1)(0,1) 上的均匀分布．显然 𝑋X 满足连续型随机变量的定义．
对任何实数 𝑟 ∈(0,1)r∈(0,1)，不难得到 𝑃{𝑋 =𝑟} =0P{X=r}=0，但同时有 𝑃{𝑋 =0} =12P{X=0}=12．
另一方面，设 𝑋 ∼𝐹(𝑥)X∼F(x)，则
𝑃(𝑙<𝑥≤𝑙+Δ𝑥)=𝐹(𝑙+Δ𝑥)−𝐹(𝑙)P(l<x≤l+Δx)=F(l+Δx)−F(l)
一个自然的想法是用极限 limΔ𝑥→0+𝐹(𝑙+Δ𝑥)−𝐹(𝑙)Δ𝑥limΔx→0+F(l+Δx)−F(l)Δx 来描述 𝑋X 取值为 𝑙l 的可能性．
这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 𝑓(𝑥)f(x) 使得
𝐹(𝑥)=∫𝑥−∞𝑓(𝑥)d𝑥F(x)=∫−∞xf(x)dx
若这样的 𝑓(𝑥)f(x) 存在，则称之为 𝑋X 的 密度函数 ．
随机变量的独立性
前面讨论了随机事件的独立性．由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义．
定义
若随机变量 𝑋,𝑌X,Y 满足对任意的 𝑥,𝑦 ∈ℝx,y∈R 都有
𝑃(𝑋≤𝑥,𝑌≤𝑦)=𝑃(𝑋≤𝑥)𝑃(𝑌≤𝑦)P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)
则称随机变量 𝑋,𝑌X,Y 独立 ．
Note
有些同学也许会注意到，中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如 𝑃(𝑋 =𝛼)P(X=α) 的概率定义的，但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是 00，故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择．
性质
若随机变量 𝑋X,𝑌Y 相互独立，则对于任意函数 𝑓,𝑔f,g，随机变量 𝑓(𝑋)f(X) 与 𝑔(𝑌)g(Y) 相互独立．
注意
有时候我们会研究相互独立的随机变量 𝑋X,𝑌Y 的某一函数 𝑓(𝑋,𝑌)f(X,Y)（如 𝑋𝑌2XY2）的分布．
尽管 𝑋X 与 𝑌Y 是独立的，但不能想当然地认为对 𝑌Y 的某一取值 𝑦y，𝑓(𝑋,𝑦)f(X,y) 与 𝑓(𝑋,𝑌)f(X,Y) 服从同样的分布．
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