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线性代数简介

提示

本篇与「线性代数」分类下的其他篇目关联不大．但笔者认为，讲讲线性代数的本质，追溯概念的根源与联系，让读者对于线性代数有一个初步但是成体系的认识，确实有其必要性．

早在几千年前，就有古人应用线性方程组解决问题，而如今，线性代数仍然应用广泛．

线性代数源于人们的观察．人们发现，很多对象都拥有相似的性质，比如：

• 力可以被分解、合成．

• 对于任意的 𝑘,𝑥0k,x0，𝑘sin⁡(𝑥−𝑥0)ksin⁡(x−x0) 可以分解成 𝑘1sin⁡𝑥 +𝑘2cos⁡𝑥k1sin⁡x+k2cos⁡x．

这些性质与所描述对象的 缩放 、分解 、叠加 等有关．线性代数把这些性质从具体对象中抽象出来，作为一个独立的学科来研究．在 OI 中，线性代数的知识可以直接用来解决问题，也可以用于优化算法、数据结构等．例如：

• 用树剖维护线性基求链上最大异或和

• 利用矩阵树定理把图的生成树计数问题转化为求矩阵的行列式

• 用矩阵快速幂优化递推

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