代数基本定理
定义
任何复系数一元 𝑛n
次多项式（𝑛n 至少为 11）方程在复数域上至少有一根．
由此推出，𝑛n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 𝑛n 个根，重根按重数计算．
有时这个定理也表述为：
任何一个非零的一元 𝑛n 次复系数多项式，都正好有 𝑛n 个复数根．
代数基本定理的证明，一般会用到复变函数或者近世代数，因此往往作为一个熟知结论直接应用．
根据代数基本定理，一个复系数多项式 𝑓(𝑥) =𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +… +𝑎0f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0 一定可以唯一地分解为：
𝑓(𝑥)=𝑎𝑛(𝑥−𝑥1)𝑘1(𝑥−𝑥2)𝑘2…(𝑥−𝑥𝑡)𝑘𝑡f(x)=an(x−x1)k1(x−x2)k2…(x−xt)kt
其中各个根均为复数，𝑘1 +𝑘2 +… +𝑘𝑡 =𝑛k1+k2+…+kt=n．
虚根成对定理
代数基本定理的研究对象是复系数多项式．当对实系数多项式进行研究时，虽然也能分解出复数根，却需要将研究范围扩大，不太方便．
虚根：非实数根．
定理：实系数多项式的根的共轭复数也是该多项式的根．
证明：直接在代数基本定理的等式两端取共轭即证毕．
如果根本身是实数，则取共轭仍为它本身，不受影响．
如果根是虚根，则虚根的共轭复数也是原多项式的根．那么，两个虚根就可以配对．
定理：实数系数方程的共轭虚根一定成对出现，并且共轭虚根的重数相等．
证明：假设一个根为 𝑎 +𝑏ia+bi，则另一个根为 𝑎 −𝑏ia−bi．这意味着在分解式中存在两项：
(𝑥−𝑎−𝑏i)(𝑥−𝑎+𝑏i)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎2+𝑏2(x−a−bi)(x−a+bi)=x2−2ax+a2+b2
可以看到两项乘在一起，各项系数会全部变为实数．这个等式右端的二次实系数多项式整除原始的多项式．
于是，在代数基本定理的等式中，两遍同时除以这个二次三项式，得到的仍旧是实系数多项式的等式．对新等式重复操作，随着次数的下降，若干次后即不存在虚根．
因此，每对共轭虚根的重数相等．证毕．
以下是虚根成对定理的推论：
- 实系数奇次多项式至少有一个实根，并且总共有奇数个实根．
- 实系数偶次多项式可能没有实根，总共有偶数个实根．
称上述二次三项式 𝑥2 −2𝑎𝑥 +𝑎2 +𝑏2 =𝑥2 +𝑝𝑥 +𝑞x2−2ax+a2+b2=x2+px+q 为二次实系数不可约因式．不可约是指它在实数范围内不可约．
定理：实系数多项式一定是一次或者二次实系数不可约因式的积．
证明：
只要实系数多项式有一个实根 𝑐c，就有一个实系数因式 𝑥 −𝑐x−c 和它对应；有一对虚根 𝑎 ±𝑏ia±bi，就有一个实系数因式 𝑥2 −2𝑎𝑥 +𝑎2 +𝑏2x2−2ax+a2+b2 和它对应．
因此，只要在原始的代数基本定理分解式中，利用虚根成对定理进行配对，即证毕．
根据虚根成对定理，一个实系数多项式 𝑓(𝑥) =𝑎𝑛𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +… +𝑎0f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0 一定可以唯一地分解为：
𝑓(𝑥)=𝑎𝑛(𝑥−𝑥1)𝑘1(𝑥−𝑥2)𝑘2…(𝑥−𝑥𝑡)𝑘𝑡(𝑥2+𝑝1𝑥+𝑞1)𝑙1(𝑥2+𝑝2𝑥+𝑞2)𝑙2…(𝑥2+𝑝𝑠𝑥+𝑞𝑠)𝑙𝑠f(x)=an(x−x1)k1(x−x2)k2…(x−xt)kt(x2+p1x+q1)l1(x2+p2x+q2)l2…(x2+psx+qs)ls
其中各项系数均为实数，𝑘1 +𝑘2 +… +𝑘𝑡 +2(𝑙1 +𝑙2 +… +𝑙𝑠) =𝑛k1+k2+…+kt+2(l1+l2+…+ls)=n．
林士谔算法
简介
怎样对实系数多项式进行代数基本定理的分解？如果将数域扩充至复数会很复杂．
如果只在实数范围内进行分解，只能保证，当次数大于 22 的时候，一定存在实系数二次三项式因式．
这是因为，如果该多项式有虚根，直接凑出一对共轭虚根即可．如果该多项式只有实根，任取两个实根对应的一次因式乘在一起，也能得到实系数二次三项式因式．
找到二次三项式因式之后，再从二次式中解实根或复根就极为容易．于是便有逐次 找出一个二次因子 来求得方程的复根的计算方法，这种方法避免了复数运算．
在 1940 年 8 月、1943 年 8 月和 1947 年 7 月，林士谔先后在 MIT 出版的《数学物理》杂志上接连正式发表了 3 篇关于解算高阶方程式复根方法的论文1，每次均有改进．
这个方法今天还在现代计算机中进行快速运算，计算机程序包（如 MATLAB）中的多项式求根程序依据的原理也是这个算法．
过程
要想找到一个二次三项式因子，就要将多项式分解为：
𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑝1𝑥+𝑞1)𝑔(𝑥)f(x)=(x2+p1x+q1)g(x)
由于无法一下子找到二次三项式因子，按照迭代求解的思路，对于初始值有：
𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)𝑔(𝑥)+𝑟𝑥+𝑠f(x)=(x2+px+q)g(x)+rx+s
会产生一个一次式作为余项．只要余项足够小，即可近似地找到待求因子．
我们希望最终解是初始值加一个偏移修正：
𝑝1=𝑝+𝑑𝑝p1=p+dp𝑞1=𝑞+𝑑𝑞q1=q+dq
余式中的两个数 (𝑟,𝑠)(r,s) 由除式的给定系数 (𝑝,𝑞)(p,q) 决定．有偏导数关系：
𝑑𝑟=𝜕𝑟𝜕𝑝𝑑𝑝+𝜕𝑟𝜕𝑞𝑑𝑞dr=∂r∂pdp+∂r∂qdq𝑑𝑠=𝜕𝑠𝜕𝑝𝑑𝑝+𝜕𝑠𝜕𝑞𝑑𝑞ds=∂s∂pdp+∂s∂qdq
在初始的等式中，被除式 𝑓(𝑥)f(x) 是给定的，商式 𝑔(𝑥)g(x) 和余式 𝑟𝑥 +𝑠rx+s 随着除式 𝑥2 +𝑝𝑥 +𝑞x2+px+q 的变化而变化．因此有偏导数关系
0=𝑥𝑔(𝑥)+𝜕𝑔(𝑥)𝜕𝑝(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)+𝜕𝑟𝜕𝑝𝑥+𝜕𝑠𝜕𝑝0=xg(x)+∂g(x)∂p(x2+px+q)+∂r∂px+∂s∂p0=𝑔(𝑥)+𝜕𝑔(𝑥)𝜕𝑞(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)+𝜕𝑟𝜕𝑞𝑥+𝜕𝑠𝜕𝑞0=g(x)+∂g(x)∂q(x2+px+q)+∂r∂qx+∂s∂q
注意到，偏导数只是一个数值，与变元 𝑥x 无关．因此有整除关系
𝑥𝑔(𝑥)=−𝜕𝑔(𝑥)𝜕𝑝(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)−𝜕𝑟𝜕𝑝𝑥−𝜕𝑠𝜕𝑝xg(x)=−∂g(x)∂p(x2+px+q)−∂r∂px−∂s∂p𝑔(𝑥)=−𝜕𝑔(𝑥)𝜕𝑞(𝑥2+𝑝𝑥+𝑞)−𝜕𝑟𝜕𝑞𝑥−𝜕𝑠𝜕𝑞g(x)=−∂g(x)∂q(x2+px+q)−∂r∂qx−∂s∂q
这里的结论是，待求的偏导数，恰好是对商式继续做除法的余式．多项式对给定二次三项式的除法，直接计算即可．这里就求得了四个偏导数．
我们希望 𝑠s 和 𝑟r 加上偏移 𝑑𝑠ds 与 𝑑𝑟dr 得到 00，即 𝑑𝑠ds 与 𝑑𝑟dr 是 𝑠s 和 𝑟r 的相反数．因此要解方程：
−𝜕𝑟𝜕𝑝𝑑𝑝−𝜕𝑟𝜕𝑞𝑑𝑞=𝑟−∂r∂pdp−∂r∂qdq=r−𝜕𝑠𝜕𝑝𝑑𝑝−𝜕𝑠𝜕𝑞𝑑𝑞=𝑠−∂s∂pdp−∂s∂qdq=s
从上述方程组中解得 𝑝p 和 𝑞q 相应的偏移 𝑑𝑝dp 和 𝑑𝑞dq，直接用二阶行列式求解即可．
实现
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## 参考资料与注释
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1. [林士谔．论劈因法解高阶特征方程根值的应用问题．数学进展，1963(03):207-217.](https://cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?filename=SXJZ196303000&dbcode=CJFD&dbname=CJFD1979) ↩
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