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复数

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复数

引入

注

下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二．

从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程 𝑥2 +𝑎 =0(𝑎 >0)x2+a=0(a>0) 有没有解，进而可以归结为方程 𝑥2 +1 =0x2+1=0 有没有解．

回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关．例如，为了解决正方形对角线的度量，以及 𝑥2 −2 =0x2−2=0 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集．数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．

依照这种思想，为了解决 𝑥2 +1 =0x2+1=0 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数 ii，使得 𝑥 =ix=i 是方程 𝑥2 +1 =0x2+1=0 的解，即使得 i2 = −1i2=−1．

思考：把新引进的数 ii 添加到实数集中，我们希望数 ii 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律．那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？

依照以上设想，把实数 𝑏b 与 ii 相乘，结果记作 𝑏ibi；把实数 𝑎a 与 𝑏ibi 相加，结果记作 𝑎 +𝑏ia+bi．注意到所有实数以及 ii 都可以写成 𝑎 +𝑏i(𝑎,𝑏 ∈𝐑)a+bi(a,b∈R) 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中．

定义

我们定义形如 𝑎 +𝑏ia+bi，其中 𝑎,𝑏 ∈𝐑a,b∈R 的数叫做 复数 ，其中 ii 被称为 虚数单位 ，全体复数的集合叫做 复数集 ，记作 𝐂C．

复数通常用 𝑧z 表示，即 𝑧 =𝑎 +𝑏iz=a+bi．这种形式被称为 复数的代数形式 ．其中 𝑎a 称为复数 𝑧z 的 实部 ，记作 Re⁡(𝑧)Re⁡(z)，𝑏b 称为复数 𝑧z 的 虚部 ，记作 Im⁡(𝑧)Im⁡(z)．如无特殊说明，都有 𝑎,𝑏 ∈𝐑a,b∈R．

对于一个复数 𝑧z，当且仅当 𝑏 =0b=0 时，它是实数，当 𝑏 ≠0b≠0 时，它是虚数，当 𝑎 =0a=0 且 𝑏 ≠0b≠0 时，它是纯虚数．

纯虚数，虚数，实数，复数的关系如下图所示．

性质与运算

几何意义

我们知道了 𝑎 +𝑏ia+bi 这样类似的形式的数被称为复数，并且给出了定义和分类，我们还可以挖掘一下更深层的性质．

我们把所有实数都放在了数轴上，并且发现数轴上的点与实数一一对应．我们考虑对复数也这样处理．

首先我们定义 复数相等 ：两个复数 𝑧1 =𝑎 +𝑏i,𝑧2 =𝑐 +𝑑iz1=a+bi,z2=c+di 是相等的，当且仅当 𝑎 =𝑐a=c 且 𝑏 =𝑑b=d．

这么定义是十分自然的，在此不做过多解释．

也就是说，我们可以用唯一的有序实数对 (𝑎,𝑏)(a,b) 表示一个复数 𝑧 =𝑎 +𝑏iz=a+bi．这样，联想到平面直角坐标系，我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应 ．好了，我们找到了复数的一种几何意义．

那么这个平面直角坐标系就不再一般，因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数，所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面 ，𝑥x 轴称为 实轴 ，𝑦y 轴称为 虚轴 ．我们进一步地说：复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的 ．

我们考虑到学过的平面向量的知识，发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 (𝑎,𝑏)(a,b)，显然，复数 𝑧 =𝑎 +𝑏iz=a+bi 对应复平面内的点 𝑍(𝑎,𝑏)Z(a,b)，那么它还对应平面向量 ⟶𝑂𝑍 =(𝑎,𝑏)OZ→=(a,b)，于是我们又找到了复数的另一种几何意义：复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的（实数 00 与零向量对应）．

于是，我们由向量的知识迁移到复数上来，定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模．复数 𝑧 =𝑎 +𝑏iz=a+bi 的模 |𝑧| =√𝑎2+𝑏2|z|=a2+b2．

于是为了方便，我们常把复数 𝑧 =𝑎 +𝑏iz=a+bi 称为点 𝑍Z 或向量 ⟶𝑂𝑍OZ→，并规定相等的向量表示同一个复数．

并且由向量的知识我们发现，虚数不可以比较大小（但是实数是可以的）．

加法与减法

对复数 𝑧1 =𝑎 +𝑏i,𝑧2 =𝑐 +𝑑iz1=a+bi,z2=c+di，定义加法规则如下：

𝑧1+𝑧2=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)iz1+z2=(a+c)+(b+d)i

很明显，两个复数的和仍为复数．

考虑到向量的加法运算，我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则，这同样证明了复数的几何意义的正确性．

同样可以验证，复数的加法满足 交换律 和 结合律 ．即：

𝑧1+𝑧2=𝑧2+𝑧1(𝑧1+𝑧2)+𝑧3=𝑧1+(𝑧2+𝑧3)z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

减法作为加法的逆运算，我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则：

𝑧1−𝑧2=(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑑)iz1−z2=(a−c)+(b−d)i

这同样符合向量的减法运算．

乘法、除法与共轭

对复数 𝑧1 =𝑎 +𝑏i,𝑧2 =𝑐 +𝑑iz1=a+bi,z2=c+di，定义乘法规则如下：

𝑧1𝑧2=(𝑎+𝑏i)(𝑐+𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑐i+𝑎𝑑i+𝑏𝑑i2=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)+(𝑏𝑐+𝑎𝑑)iz1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac−bd)+(bc+ad)i

可以看出，两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只需要把 i2i2 换成 −1−1，并将实部与虚部分别合并即可．

复数的乘法与向量的向量积形式类似．

易得复数乘法满足 交换律 ，结合律 和 对加法的分配律 ，即：

• 𝑧1𝑧2 =𝑧2𝑧1z1z2=z2z1
• (𝑧1𝑧2)𝑧3 =𝑧1(𝑧2𝑧3)(z1z2)z3=z1(z2z3)
• 𝑧1(𝑧2 +𝑧3) =𝑧1𝑧2 +𝑧1𝑧3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

由于满足运算律，我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用 ．

除法运算是乘法运算的逆运算，我们可以推导一下：

𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐−𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐−𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐−𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(𝑐+𝑑i≠0)a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0)

由于向量没有除法，这里不讨论与向量的关系．

为了分母实数化，我们乘了一个 𝑐 −𝑑ic−di，这个式子很有意义．

对复数 𝑧 =𝑎 +𝑏iz=a+bi，称 𝑎 −𝑏ia−bi 为 𝑧z 的 共轭复数 ，通常记为 ¯𝑧z¯．我们可以发现，若两个复数互为共轭复数，那么它们 关于实轴对称 ．

对复数 𝑧,𝑤z,w，复数共轭有如下性质

• 𝑧 ⋅¯𝑧 =|𝑧|2z⋅z¯=|z|2
• ――――𝑧 =𝑧z――=z
• Re⁡(𝑧) =𝑧+¯𝑧2Re⁡(z)=z+z¯2，Im⁡(𝑧) =𝑧−¯𝑧2Im⁡(z)=z−z¯2
• ――――𝑧±𝑤 =¯𝑧 ±¯𝑤z±w―=z¯±w¯
• ―――𝑧𝑤 =¯𝑧¯𝑤zw―=z¯w¯
• ―――𝑧/𝑤 =¯𝑧/¯𝑤z/w―=z¯/w¯

辐角和辐角主值

如果设定实数单位 11 作为水平正方向，虚数单位 ii 作为竖直正方向，得到的就是直角坐标视角下的复平面．

表示复数 𝑧z 的位置，也可以借助于极坐标 (𝑟,𝜃)(r,θ) 确定．前文已经提到了 𝑟r 为复数 𝑧z 的模．

从实轴正向到 非零 复数 𝑧 =𝑥 +i𝑦z=x+iy 对应向量的夹角 𝜃θ 满足关系：

tan⁡𝜃=𝑦𝑥tan⁡θ=yx

称为复数 𝑧z 的 辐角 ，记为：

𝜃=arg⁡𝑧θ=arg⁡z

任一个 非零 复数 𝑧z 有无穷多个辐角，故 arg⁡𝑧arg⁡z 事实上是一个集合．借助开头大写的 Arg⁡𝑧Arg⁡z 表示 其中一个特定值 ，满足条件：

−𝜋<Arg⁡𝑧≤𝜋−π<Arg⁡z≤π

称 Arg⁡𝑧Arg⁡z 为 辐角主值 或 主辐角 ．辐角就是辐角主值基础上加若干整数个（可以为零或负整数）2𝑘𝜋2kπ，即 arg⁡𝑧 ={Arg⁡𝑧 +2𝑘𝜋 ∣𝑘 ∈𝐙}arg⁡z={Arg⁡z+2kπ∣k∈Z}．

需要注意的是两个辐角主值相加后不一定还是辐角主值，而两个辐角相加一定还是合法的辐角．

称模小于 11 的复数，在复平面上构成的图形为 单位圆 ．称模等于 11 的复数为 单位复数 ，全体单位复数在复平面上构成的图形为 单位圆周 ．在不引起混淆的情况下，有时单位圆周也简称单位圆．

在极坐标的视角下，复数的乘除法变得很简单．复数乘法，模相乘，辐角相加．复数除法，模相除，辐角相减．

欧拉公式

欧拉公式（Euler's formula）1

对任意实数 𝑥x，有

ei𝑥=cos⁡𝑥+isin⁡𝑥eix=cos⁡x+isin⁡x

在补充 复指数函数与复三角函数 的定义后，该公式可推广至全体复数．

指数函数与三角函数

对于复数 𝑧 =𝑥 +i𝑦z=x+iy，函数 𝑓(𝑧) =e𝑥(cos⁡𝑦 +isin⁡𝑦)f(z)=ex(cos⁡y+isin⁡y) 满足 𝑓(𝑧1 +𝑧2) =𝑓(𝑧1)𝑓(𝑧2)f(z1+z2)=f(z1)f(z2)．由此给出 复指数函数 的定义：

exp⁡𝑧=e𝑥(cos⁡𝑦+isin⁡𝑦)exp⁡z=ex(cos⁡y+isin⁡y)

复指数函数在实数集上与实指数函数的定义完全一致．在复平面上拥有性质：

• 模恒正：|exp⁡𝑧| =exp⁡𝑥 >0|exp⁡z|=exp⁡x>0．
• 辐角：arg⁡(exp⁡𝑧) ={𝑦 +2𝑘𝜋 ∣𝑘 ∈𝐙}arg⁡(exp⁡z)={y+2kπ∣k∈Z}．
• 加法定理：exp⁡(𝑧1+𝑧2) =exp⁡(𝑧1)exp⁡(𝑧2)exp⁡(z1+z2)=exp⁡(z1)exp⁡(z2)．
• 周期性：exp⁡𝑧exp⁡z 是以 2𝜋i2πi 为基本周期的周期函数．如果一个函数 𝑓(𝑧)f(z) 的周期是某一周期的整倍数，称该周期为 基本周期 ．

复三角函数 （也简称 三角函数 ）的定义如下：

cos⁡𝑧=exp⁡(i𝑧)+exp⁡(−i𝑧)2cos⁡z=exp⁡(iz)+exp⁡(−iz)2sin⁡𝑧=exp⁡(i𝑧)−exp⁡(−i𝑧)2isin⁡z=exp⁡(iz)−exp⁡(−iz)2i

若取 𝑧 ∈𝐑z∈R，则由 欧拉公式 有：

cos⁡𝑧=Re⁡(ei𝑧)cos⁡z=Re⁡(eiz)sin⁡𝑧=Im⁡(ei𝑧)sin⁡z=Im⁡(eiz)

复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致．在复平面上拥有性质：

• 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
• 三角恒等式：通常的三角恒等式都成立，例如平方和为 11，或者角的和差公式等．
• 周期性：正弦与余弦函数以 2𝜋2π 为基本周期．
• 零点：实正弦与实余弦函数的全体零点，构成了复正弦与复余弦函数的全体零点．这个推广没有引进新的零点．
• 模的无界性：复正弦与复余弦函数，模长可以大于任意给定的正数，不再像实正弦与实余弦函数一样被限制在 11 的范围内．

复数的三种形式

借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角，可以写出复数的三种形式．

复数的 代数形式 用于表示任意复数．

𝑧=𝑥+𝑦iz=x+yi

代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便．

复数的 三角形式 和 指数形式 ，用于表示非零复数．

𝑧=𝑟(cos⁡𝜃+isin⁡𝜃)=𝑟exp⁡(i𝜃)z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=rexp⁡(iθ)

这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便．如果只用高中见过的函数，可以使用三角形式．如果引入了复指数函数，写成等价的指数形式会更加方便．

单位根

考察方程 𝑥𝑛 =1xn=1 在复数意义下的解．显然，这样的解有 𝑛n 个，称这 𝑛n 个解都是 𝑛 n 次单位（复）根（𝑛n-th root of unity）．根据复平面的知识，𝑛n 次单位根把单位圆 𝑛n 等分．

设 𝜔𝑛 =exp⁡2𝜋i𝑛ωn=exp⁡2πin（即幅角为 2𝜋/𝑛2π/n 的单位复数），则 𝑥𝑛 =1xn=1 的解集表示为 {𝜔𝑘𝑛 ∣𝑘 =0,1⋯,𝑛 −1}{ωnk∣k=0,1⋯,n−1}，其中，

𝑤𝑘𝑛=exp⁡2𝜋𝑘i𝑛=cos⁡2𝜋𝑘𝑛+isin⁡2𝜋𝑘𝑛.wnk=exp⁡2πkin=cos⁡2πkn+isin⁡2πkn.

如果不加说明，一般叙述中的 𝑛n 次单位根，是指从 11 开始逆时针方向的第一个解，即上述 𝜔𝑛ωn，其它解均可以用 𝜔𝑛ωn 的幂表示．

为什么通常提到 𝑛n 次单位根，总是特指第一个？

主要是为了应用时方便．所有 𝑛n 次单位根都可以表示为第一个 𝑛n 次单位根 𝜔𝑛ωn 的幂次；而且，对于任意 𝑘 <𝑛k<n，复数 𝜔𝑛ωn 都不是 𝑘k 次单位根．

本原单位根

事实上，𝑛n 次单位根中满足类似性质的不止 𝜔𝑛ωn 一个．称集合

{𝜔𝑘𝑛∣0≤𝑘<𝑛, gcd(𝑛,𝑘)=1}{ωnk∣0≤k<n, gcd(n,k)=1}

中的元素为 𝑛 n 次本原单位根（𝑛n-th primitive root of unity）．根据上述表达式可知，全体 𝑛n 次本原单位根共有 𝜑(𝑛)φ(n) 个，其中，𝜑(𝑛)φ(n) 为 欧拉函数．

任意一个本原单位根 𝜔ω，都与上述 𝜔𝑛ωn 具有相同的性质：对于任意的 0 <𝑘 <𝑛0<k<n，𝜔ω 的 𝑘k 次幂不为 11，也就是说，𝜔ω 不是 𝑘k 次单位根．因此，借助任意一个本原单位根，都可以生成全体单位根．

为了理解 𝑛n 次本原单位根的结构，需要考虑单位根的如下性质：

性质

对于整数 𝑛n 和 𝑘k，设 𝑑 =gcd(𝑛,𝑘)d=gcd(n,k)，有 𝜔𝑘𝑛 =𝜔𝑘/𝑑𝑛/𝑑ωnk=ωn/dk/d．

证明

直接计算可知

𝑤𝑘𝑛=exp⁡2𝜋𝑘i𝑛=exp⁡2𝜋(𝑘/𝑑)i𝑛/𝑑=𝜔𝑘/𝑑𝑛/𝑑.wnk=exp⁡2πkin=exp⁡2π(k/d)in/d=ωn/dk/d.

这说明，只要 gcd(𝑛,𝑘) ≠1gcd(n,k)≠1，那么，𝜔𝑘𝑛ωnk 就一定是 𝑛gcd(𝑛,𝑘)ngcd(n,k) 次（本原）单位根．因此，满足前述性质的单位根 𝜔𝑘𝑛ωnk 一定是满足 gcd(𝑛,𝑘) =1gcd(n,k)=1．这正是本原单位根具有上述定义的原因．

另外，作为这些分析的简单推论，有：

定理

当 𝑘k 遍历 𝑛n 的因数，所有 𝑘k 次本原单位根恰构成 𝑛n 次单位根的一个划分．而且，对于 ℓ ⟂𝑛ℓ⟂n，映射 𝑥 ↦𝑥ℓx↦xℓ 给出 𝑛n 次单位根之间的双射，且保持上述划分不变：它将 𝑘 ∣𝑛k∣n 次本原单位根仍然映射到 𝑘k 次本原单位根．

尽管本原单位根有很多选择，但是由于第一个根 𝜔𝑛ωn 形式最为简单，算法竞赛中还是 𝜔𝑛ωn 最为常用．对于部分场景，为提高计算效率，还可以考虑用某一模数下的 本原单位根 代替复数域中的 𝜔𝑛ωn．

编程语言中的复数

C 中的复数

在 C99 标准中，有 <complex.h> 头文件．

在 <complex.h> 头文件中，提供了 double complex、float complex 和 long double complex 三种类型．

算术运算符'+'、'-'、'*'和'/'，可以用于浮点数和复数的任意混合．当表达式两端有一个为复数时，计算结果为复数．

头文件 <complex.h> 提供了虚数单位 I，引入此头文件时，大写字母 I 不可以作为变量名使用．

对于单个复数，<complex.h> 提供了若干操作：creal 函数用于提取实部，cimag 函数用于提取虚部，cabs 函数用于计算模，carg 函数用于计算辐角主值．

所有的函数根据类型不同，都有三个．例如 creal 函数有 creal、crealf、creall 三个，用于处理对应的 double、float 和 long double 三种类型．末尾什么都不带的默认处理 double 类型．以下所有函数均遵从此规律，不再特别说明．

这些函数返回值都是一般的浮点数．可以将普通浮点数直接赋值给复数，但是不可以将复数直接赋值给浮点数，而是需要使用上述提取操作．

函数 conj 用于计算共轭复数，返回值是复数．

函数 cexp 计算复指数，clog 计算对数主值，csin 计算正弦，ccos 计算余弦，ctan 计算正切．

函数 cpow 计算幂函数，csqrt 计算平方根，casin 计算反正弦，cacos 计算反余弦，catan 计算反正切．这部分函数计算的全部都是多值函数的主值．

C++ 中的复数

在 C 里面的 <ctype.h>，到 C++ 会变成 <cctype>，几乎所有的头文件遵从这个命名规律．

但是，<complex.h> 不遵守，C++ 没有 <ccomplex> 头文件．C++ 的复数直接是 <complex>，并且装的东西和 C 完全不一样．

很有趣．这是因为，在 C++ 的第一个版本 C++98，即已经有了 <complex>，而 C 语言在 C99 才添加．

在 C++ 中，复数类型定义使用 complex<float>、complex<double> 和 complex<long double>．由于面向对象的多态性，下面函数的名字都是唯一的，无需 f 或 l 的后缀．

一个复数对象拥有成员函数 real 和 imag，可以访问实部和虚部．

一个复数对象拥有非成员函数 real、imag、abs、arg，返回实部、虚部、模和辐角．

一个复数对象还拥有非成员函数：norm 为模的平方，conj 为共轭复数．

一个复数对象还拥有非成员函数 exp、log（底为 ee 的对数主值）、log10（底为 10 的对数主值，C 中没有）、pow、sqrt、sin、cos、tan，含义与 C 中的含义相同．

在 C++14 及以后的版本中，定义了 字面量运算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il．例如输入 100if、100i 和 100il，三者将分别返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}、std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}．这使得我们可以方便地书写形如 auto z = 4.0 + 3i 的复数声明．

参考资料与链接

• Complex number - Wikipedia
• Euler's formula - Wikipedia
• Complex number arithmetic - cppreference.com
• std::complex - cppreference.com

1. 有关欧拉公式的更多介绍，可以参考两个视频：欧拉公式与初等群论、微分方程概论 - 第五章：在 3.14 分钟内理解 ei𝜋eiπ． ↩

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