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布尔代数

在数理逻辑中，布尔代数（boolean algebra）是代数的一个分支．初等代数中变量的值是数字，其研究的主要运算符有加法、乘法、乘方以及这三种运算的逆运算．而布尔代数中变量的值仅为真和假两种（通常记作 11 和 00），其研究的主要运算符有合取（与，∧∧）、析取（或，∨∨）、否定（非，¬¬）．就像初等代数是描述数字运算的一种形式一样，布尔代数是描述逻辑运算的一种形式．

布尔函数

定义

布尔函数 （boolean function）指的是形如 𝑓 :𝐁𝑘 →𝐁f:Bk→B 的函数，其中 𝐁 ={0,1}B={0,1} 为 布尔域 （boolean domain），非负整数 𝑘k 为该布尔函数的元数（arity）．𝑘 =1k=1 的布尔函数为一元函数，以此类推．𝑘 =0k=0 时，我们认为函数退化为 𝐁B 中的常量．

我们一般只研究一元和二元的布尔函数．如无特殊说明，下文的布尔函数仅限于一元和二元的情况．

除了函数的一般表达方式外，我们还可以用 真值表 （truth table）、逻辑门 （logic gate）、Venn 图来表示布尔函数．

真值表

对一个布尔函数，我们枚举其输入的所有情况，并将输入和对应的输出列成一张表，这个表就叫做真值表．

𝑛n 元布尔函数也可以用含 𝑛n 个变量的 命题公式 （propositional formula）表示，命题公式 𝑝p 与 𝑞q 逻辑等价 （logically equivalent）当且仅当其描述的是同一个布尔函数，记作 𝑝 ⟺ 𝑞p⟺q．

以下是一些常见布尔函数，我们也会把这些布尔函数统称为 逻辑运算符 （logical connective）或 逻辑算子 （logical operator）：

名称（数理逻辑）	其他名称	记号
恒真（truth、tautology）		⊤⊤
恒假（falsity、contradiction）		⊥⊥
命题	自身	𝐴A
否定（negation）	非（NOT）	¬𝐴¬A
合取（conjunction）	与（AND）	𝐴 ∧𝐵A∧B
析取（disjunction）	或（OR）	𝐴 ∨𝐵A∨B
非合取（non-conjunction）	与非（NAND）、Sheffer 竖线	𝐴 ¯∧𝐵A∧¯B、𝐴 ↑𝐵A↑B
非析取（non-disjunction）	或非（NOR）	𝐴 ¯∨𝐵A∨¯B、𝐴 ↓𝐵A↓B

对应的真值表（From Wikipedia）：

对应的 Venn 图和 Hasse 图（以集合的包含关系 ⊆⊆ 为偏序，From Wikipedia）：

由于 𝑛n 元布尔函数的输入有 2𝑛2n 种，所以 𝑛n 元布尔函数有 2 ↑(2 ↑𝑛)2↑(2↑n) 种，其中 ↑↑ 为 Knuth 箭头．

我们把逻辑算子的组合称为 逻辑表达式 （logical expression）．

如果我们把 𝐁B 视作模 22 的一个剩余类，此时异或等价于模 22 加法，与等价于模 22 乘法，所以有时我们也用 𝐙2Z2 表示布尔域．

优先级

一元逻辑算子优先级高于二元逻辑算子，即 ¬¬ 的优先级高于 ∧∧、∨∨、⊕⊕ 等的优先级．

二元逻辑算子之间的优先级有多种规定，有的资料认为 ∧∧、∨∨、⊕⊕ 的优先级比 →→、←←、↔↔ 更高，而有的资料持相反观点．所以在使用时推荐多加括号来明确顺序．

C++ 中的规定参见 C++ 运算符优先级总表．

自足算子与完备算子集

实际上，我们只用与非或者或非即可表达其余的逻辑算子，CPU 也是基于这一点构建的．但是，由于 与、或、非、异或 这四种逻辑算子的性质更好，所以我们在研究布尔代数时一般只使用这四种函数．

如何分别用与非、或非表示其余的逻辑算子

我们有

¬𝑝 =𝑝 ¯∧𝑝 =𝑝 ¯∨𝑝¬p=p∧¯p=p∨¯p，
𝑝 ∧𝑞 =(𝑝 ¯∧𝑞) ¯∧(𝑝 ¯∧𝑞) =(𝑝 ¯∨𝑝) ¯∨(𝑞 ¯∨𝑞)p∧q=(p∧¯q)∧¯(p∧¯q)=(p∨¯p)∨¯(q∨¯q)，
𝑝 ∨𝑞 =(𝑝 ¯∧𝑝) ¯∧(𝑞 ¯∧𝑞) =(𝑝 ¯∨𝑞) ¯∨(𝑝 ¯∨𝑞)p∨q=(p∧¯p)∧¯(q∧¯q)=(p∨¯q)∨¯(p∨¯q)，
𝑝 →𝑞 =𝑝 ¯∧(𝑞 ¯∧𝑞) =((𝑝 ¯∨𝑝) ¯∨𝑞) ¯∨((𝑝 ¯∨𝑝) ¯∨𝑞)p→q=p∧¯(q∧¯q)=((p∨¯p)∨¯q)∨¯((p∨¯p)∨¯q)．

另外

𝑝 =¬¬𝑝p=¬¬p，
𝑝 ↮𝑞 =𝑝 ⊕𝑞 =(𝑝 ∨𝑞) ∧¬(𝑝 ∧𝑞)p↮q=p⊕q=(p∨q)∧¬(p∧q)，
𝑝 ↔𝑞 =𝑝 ⊙𝑞 =¬(𝑝 ⊕𝑞)p↔q=p⊙q=¬(p⊕q)，
𝑝 ↛𝑞 =¬(𝑝 →𝑞)p↛q=¬(p→q)，
𝑝 ←𝑞 =𝑞 →𝑝p←q=q→p，
𝑝 ↚𝑞 =¬(𝑝 ←𝑞)p↚q=¬(p←q)．

我们能不能用指定的若干逻辑算子描述所有的逻辑算子？这便引出了完备算子集的定义．

定义

对一个给定的逻辑算子集，如果能只用这个集合里的函数描述所有的逻辑算子，则称该集合为 完备算子集 （functionally complete operator set）．特别地，如果只用一个逻辑算子即可描述所有的逻辑算子，则称该算子为 自足算子 （sole sufficient operator）或 Sheffer 函数 （Sheffer function）．

如果在一个完备算子集中删去任意一个元素，其都不能描述所有的逻辑算子，则称该集合为 极小完备算子集 （minimal functionally complete operator set）．

可以证明逻辑算子中只有 ¯∧∧¯、¯∨∨¯ 是自足算子．

以下为常见的极小完备算子集1：

{ ¯∧}{∧¯}，{ ¯∨}{∨¯}，
{ ∧,¬}{∧,¬}，{ ∨,¬}{∨,¬}，{ ←,¬}{←,¬}，{ →,¬}{→,¬}，{ ↚,¬}{↚,¬}，{ ↛,¬}{↛,¬}，
{ ←,⊥}{←,⊥}，{ →,⊥}{→,⊥}，{ ↚,⊤}{↚,⊤}，{ ↛,⊤}{↛,⊤}，
{ ←, ↚}{←,↚}，{ →, ↚}{→,↚}，{ ←, ↛}{←,↛}，{ →, ↛}{→,↛}，
{ ←, ↮}{←,↮}，{ →, ↮}{→,↮}，{ ↚, ↔}{↚,↔}，{ ↛, ↔}{↛,↔}，
{ ∨, ↔,⊥}{∨,↔,⊥}，{ ∨, ↔, ↮}{∨,↔,↮}，{ ∨, ↮,⊤}{∨,↮,⊤}，
{ ∧, ↔,⊥}{∧,↔,⊥}，{ ∧, ↔, ↮}{∧,↔,↮}，{ ∧, ↮,⊤}{∧,↮,⊤}．

性质

首先是代数结构的相关性质：

与、或均关于 𝐁B 构成交换幺半群．即与运算和或运算均具有交换律、结合律和幺元（𝑥 ∧1 =𝑥 ∨0 =𝑥x∧1=x∨0=x）．
异或、同或均关于 𝐁B 构成群．即异或运算和同或运算均具有交换律、结合律、幺元（𝑥 ⊕0 =𝑥 ⊙1 =𝑥x⊕0=x⊙1=x）和逆元（𝑥 ⊕𝑥 =0x⊕x=0，𝑥 ⊙𝑥 =1x⊙x=1）．
与非、或非均不具有结合律，所以不构成半群．

对于 ∧∧、∨∨，我们有

分配律：
𝑎 ∧(𝑏 ⋄𝑐) =(𝑎 ∧𝑏) ⋄(𝑎 ∧𝑐)a∧(b⋄c)=(a∧b)⋄(a∧c)，其中 ⋄⋄ 可以为 ∧∧、∨∨、⊕⊕，
𝑎 ∨(𝑏 ⋄𝑐) =(𝑎 ∨𝑏) ⋄(𝑎 ∨𝑐)a∨(b⋄c)=(a∨b)⋄(a∨c)，其中 ⋄⋄ 可以为 ∧∧、∨∨、⊙⊙．
幂等（idempotence）律：𝑥 ∧𝑥 =𝑥x∧x=x、𝑥 ∨𝑥 =𝑥x∨x=x．
单调性：𝑎 →𝑏 ⟺ (𝑎 ∧𝑐) →(𝑏 ∧𝑐)a→b⟺(a∧c)→(b∧c)、𝑎 →𝑏 ⟺ (𝑎 ∨𝑐) →(𝑏 ∨𝑐)a→b⟺(a∨c)→(b∨c)．
吸收（absorption）律：𝑥 ∧(𝑥 ∨𝑦) =𝑥 ∨(𝑥 ∧𝑦) =𝑥x∧(x∨y)=x∨(x∧y)=x．
与「→→」的关系：
𝑎 ∨𝑏 ⟺ (¬𝑎 →𝑏) ∧(¬𝑏 →𝑎)a∨b⟺(¬a→b)∧(¬b→a)，
𝑎 ∧𝑏 ⟺ ¬((𝑎 →¬𝑏) ∨(𝑏 →¬𝑎))a∧b⟺¬((a→¬b)∨(b→¬a))．

布尔函数的单调性

对一个布尔函数 𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛)f(x1,…,xn) 和 𝐁𝑛Bn 中的两个元素 (𝑎1,…,𝑎𝑛),(𝑏1,…,𝑏𝑛)(a1,…,an),(b1,…,bn)，若当 𝑎𝑖 ≤𝑏𝑖, ∀𝑖 =1,…,𝑛ai≤bi, ∀i=1,…,n 时恒有 𝑓(𝑎1,…,𝑎𝑛) ≤𝑓(𝑏1,…,𝑏𝑛)f(a1,…,an)≤f(b1,…,bn)，则称该布尔函数是单调的．

我们还有如下性质：

排中律 （law of excluded middle）：𝑝 ∨¬𝑝p∨¬p 恒真．
¬𝑝 ⟺ 𝑝 →⊥¬p⟺p→⊥．
双重否定/¬¬ 的对合（involution）律：¬¬𝑥 =𝑥¬¬x=x．
⊕⊕、⊙⊙ 的对合律：𝑥 ⊕𝑦 ⊕𝑦 =𝑥x⊕y⊕y=x、𝑥 ⊙𝑦 ⊙𝑦 =𝑥x⊙y⊙y=x．
De Morgan 律：¬(𝑝 ∧𝑞) =¬𝑝 ∨¬𝑞¬(p∧q)=¬p∨¬q、¬(𝑝 ∨𝑞) =¬𝑝 ∧¬𝑞¬(p∨q)=¬p∧¬q．

逻辑表达式的标准化

根据上述性质，我们可以对逻辑表达式进行一定的等价变换，使其符合特定的范式，这一点可用于自动定理证明中．常见的标准化范式有 合取范式 （conjunctive normal form，CNF）、析取范式 （disjunctive normal form，DNF）和 代数范式 （algebraic normal form，ANF）．

合取范式与析取范式

我们做如下递归式的定义：

文字（literal）：对变量 𝑥x，𝑥x 和 ¬𝑥¬x 是文字．
子式：

文字是子式，
若 𝐴A 是文字、𝐵B 是子式，则 𝐴 ∨𝐵A∨B 是子式．

合取范式：

若 𝐴A 是子式，则 (𝐴)(A) 是合取范式，
若 𝐴A 是子式、𝐵B 是合取范式，则 (𝐴) ∧𝐵(A)∧B 是合取范式．

类似地，交换上面定义中的 ∧∧ 与 ∨∨ 即可得到析取范式的定义．

例如以下逻辑表达式均为析取范式：

(𝐴 ∧¬𝐵) ∨(𝐶 ∧𝐷 ∧¬𝐸)(A∧¬B)∨(C∧D∧¬E)，
(𝐴 ∧𝐵) ∨(𝐶)(A∧B)∨(C)，
(𝐴 ∧𝐵)(A∧B)，
(𝐴)(A)．

以下逻辑表达式均为合取范式：

(¬𝐴 ∨¬𝐵 ∨𝐶) ∧( ∨𝐷 ∨¬𝐸)(¬A∨¬B∨C)∧(∨D∨¬E)，
(𝐴 ∨𝐵) ∧(𝐶)(A∨B)∧(C)，
(𝐴 ∨𝐵)(A∨B)，
(𝐴)(A)．

以下逻辑表达式既不为合取范式也不为析取范式：

¬(𝐴 ∧𝐵)¬(A∧B)，
𝐴 ∧(𝐵 ∨(𝐶 ∧𝐷))A∧(B∨(C∧D))．

我们可以通过如下的步骤将任意一个只含有 ¬¬、∧∧、∨∨ 运算的逻辑表达式变形为 DNF：

¬¬𝑥↦𝑥,¬(𝑥∨𝑦)↦¬𝑥∧¬𝑦,¬(𝑥∧𝑦)↦¬𝑥∨¬𝑦,𝑥∧(𝑦∨𝑧)↦(𝑥∧𝑦)∨(𝑥∧𝑧),(𝑥∨𝑦)∧𝑧↦(𝑥∧𝑧)∨(𝑦∧𝑧).¬¬x↦x,¬(x∨y)↦¬x∧¬y,¬(x∧y)↦¬x∨¬y,x∧(y∨z)↦(x∧y)∨(x∧z),(x∨y)∧z↦(x∧z)∨(y∧z).

要得到表达式 𝑋X 的 CNF，只需得到 ¬𝑋¬X 的 DNF 后取反并应用 De Morgan 律即可．

代数范式

首先，我们用如下递归式的定义来定义子式：

变量 𝑥x 是子式，
若 𝐴A 是子式，𝑥x 是变量，则 𝑥 ∧𝐴x∧A 是子式．

则满足如下三种形式之一的逻辑表达式为代数范式：

11、00，
若干不等价子式的异或，如 𝑎 ⊕𝑏 ⊕(𝑎 ∧𝑏) ⊕(𝑎 ∧𝑏 ∧𝑐)a⊕b⊕(a∧b)⊕(a∧b∧c)，
若干不等价子式与唯一的 11 的异或，如 1 ⊕𝑎 ⊕𝑏 ⊕(𝑎 ∧𝑏) ⊕(𝑎 ∧𝑏 ∧𝑐)1⊕a⊕b⊕(a∧b)⊕(a∧b∧c)．

注意到代数范式和 𝐙2Z2 上的多项式一一对应，所以代数范式也被称为 Zhegalkin 多项式 （Zhegalkin polynomial）．

我们可以通过如下的步骤将任意一个只含有 ¬¬、∧∧、∨∨、⊕⊕ 运算的逻辑表达式变形为 ANF：

⊕⊕：直接展开，如 (1 ⊕𝑥) ⊕(1 ⊕𝑥 ⊕𝑦) =1 ⊕𝑥 ⊕1 ⊕𝑥 ⊕𝑦 =𝑦(1⊕x)⊕(1⊕x⊕y)=1⊕x⊕1⊕x⊕y=y，
∧∧：用分配律展开，如 𝑥 ∧(1 ⊕𝑥 ⊕𝑦) =(𝑥 ∧1) ⊕(𝑥 ∧𝑥) ⊕(𝑥 ∧𝑦) =𝑥 ⊕(𝑥 ∧𝑦)x∧(1⊕x⊕y)=(x∧1)⊕(x∧x)⊕(x∧y)=x⊕(x∧y)，
¬¬：将 ¬𝑥¬x 用 1 ⊕𝑥1⊕x 代替，如 ¬(1 ⊕𝑥 ⊕𝑦) =1 ⊕1 ⊕𝑥 ⊕𝑦 =𝑥 ⊕𝑦¬(1⊕x⊕y)=1⊕1⊕x⊕y=x⊕y，
∨∨：将 𝑥 ∨𝑦x∨y 用 1 ⊕((1 ⊕𝑥) ∧(1 ⊕𝑦))1⊕((1⊕x)∧(1⊕y)) 或 𝑥 ⊕𝑦 ⊕(𝑥 ∧𝑦)x⊕y⊕(x∧y) 代替，如 (1 ⊕𝑥) ∨(1 ⊕𝑥 ⊕𝑦) =1 ⊕((1 ⊕1 ⊕𝑥) ∧(1 ⊕1 ⊕𝑥 ⊕𝑦)) =1 ⊕𝑥 ⊕(𝑥 ∧𝑦)(1⊕x)∨(1⊕x⊕y)=1⊕((1⊕1⊕x)∧(1⊕1⊕x⊕y))=1⊕x⊕(x∧y)．

参考资料与注释

Vaughan, H. E. (1942). Complete sets of logical functions._Transactions of the American Mathematical Society 51_ : 117–32. ↩

用于命题推导时应使用双横长箭头，如 𝐴 ⟹ 𝐵A⟹B、𝐴 ⟸ 𝐵A⟸B、𝐴 ⟺ 𝐵A⟺B 等． ↩↩↩↩↩↩

等价于同或． ↩

等价于异或． ↩

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