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平衡三进制

定义

平衡三进制，也称为对称三进制．这是一个广义进位系统．

正规的三进制的数字都是由 0,1,2 构成的，而平衡三进制的数字是由 -1,0,1 构成的．它的基数也是 3（因为有三个可能的值）．由于将 -1 写成数字不方便，我们将使用字母 Z 来代替 -1．

解释

这里有几个例子：

十进制	平衡三进制	十进制	平衡三进制
`0`	`0`	`5`	`1ZZ`
`1`	`1`	`6`	`1Z0`
`2`	`1Z`	`7`	`1Z1`
`3`	`10`	`8`	`10Z`
`4`	`11`	`9`	`100`

该数字系统的负数表示起来很容易：只需要将正数的数字倒转即可（Z 变成 1,1 变成 Z）．

十进制	平衡三进制
`-1`	`Z`
`-2`	`Z1`
`-3`	`Z0`
`-4`	`ZZ`
`-5`	`Z11`

很容易就可以看到，负数最高位是 Z，正数最高位是 1．

过程

在平衡三进制的转转换法中，需要先写出一个给定的数 x 在标准三进制中的表示．当 x 是用标准三进制表示时，其数字的每一位都是 0、1 或 2．从最低的数字开始迭代，我们可以先跳过任何的 0 和 1，但是如果遇到 2 就应该先将其变成 Z，下一位数字再加上 1．而遇到数字 3 则应该转换为 0 下一位数字再加上 1．

应用一

把 64 转换成平衡三进制．

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

6410=0210136410=021013

让我们从对整个数影响最小的数字（最低位）进行处理：

101 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
2 变成了 Z，它左边的数字加 1，得到 1Z101；
1 被跳过，得到 1Z101．

最终的结果是 1Z101．

我们再把它转换回十进制：

𝟷𝚉𝟷𝟶𝟷=81×1+27×(−1)+9×1+3×0+1×1=64101Z101=81×1+27×(−1)+9×1+3×0+1×1=6410

应用二

把 237 转换成平衡三进制．

首先，我们用标准三进制数来重写这个数：

23710=22210323710=222103

0 和 1 被跳过（因为在平衡三进制中允许 0 和 1）；
2 变成 Z，左边的数字加 1，得到 23Z10；
3 变成 0，左边的数字加 1，得到 30Z10；
3 变成 0，左边的数字（默认是 0）加 1，得到 100Z10；
1 被跳过，得到 100Z10．

最终的结果是 100Z10．

我们再把它转换回十进制：

𝟷𝟶𝟶𝚉𝟷𝟶=243⋅1+81⋅0+27⋅0+9⋅(−1)+3⋅1+1⋅0=23710100Z10=243⋅1+81⋅0+27⋅0+9⋅(−1)+3⋅1+1⋅0=23710

性质

对于一个平衡三进制数 𝑋3X3 来说，其可以按照每一位 𝑥𝑖xi 乘上对应的权值 3𝑖3i 来唯一得到一个十进制数 𝑌10Y10．

那对于一个十进制数 𝑌10Y10，是否 唯一对应一个平衡三进制数 呢？

答案是肯定的，这种性质被叫做平衡三进制的唯一性．

证明

我们利用 反证法 来求证：

假设一个十进制数 𝑌10Y10，存在两个 不同的平衡三进制数 𝐴3,𝐵3A3,B3 转化成十进制时等于 𝑌10Y10，即证 𝐴3 =𝐵3A3=B3．分情况讨论：

当 𝑌10 =0Y10=0，显然 𝐴3 =𝐵3 =03A3=B3=03，与假设矛盾．
当 𝑌10 >0Y10>0：

将 𝐴3A3，𝐵3B3 的数位按低位到高位编号，记 𝑎𝑖ai 为 𝐴3A3 的第 𝑖i 位，𝑏𝑖bi 为 𝐵B 的第 𝑖i 位．在 𝐴3,𝐵3A3,B3 中，必存在 𝑖i 使得 𝑎𝑖 ≠𝑏𝑖ai≠bi．可以发现第 𝑖 −1,𝑖 −2,…,0i−1,i−2,…,0 位均与证明无关．因此，将 𝐴3,𝐵3A3,B3 按位右移 𝑖i 位，得到 𝐴′3,𝐵′3A3′,B3′，原问题等价于证明 𝐴′3 =𝐵′3A3′=B3′．
对于 𝐴′3,𝐵′3A3′,B3′ 第 00 位，𝑎0 ≠𝑏0a0≠b0．假设 𝑏0 >𝑎0b0>a0（𝑎0 >𝑏0a0>b0 时结果相同），易知 𝑏0 −𝑎0 ∈{1,2}b0−a0∈{1,2}．𝐴′3A3′ 的位 𝑖 =1,2,3,…i=1,2,3,… 对于 𝐴′3A3′ 的值的贡献为 𝑆1 =𝑎1 ×31 +𝑎2 ×32 +…S1=a1×31+a2×32+…，𝐵′3B3′ 的位 𝑖 =1,2,3,…i=1,2,3,… 对于 𝐵′3B3′ 的值的贡献为 𝑆2 =𝑏1 ×31 +𝑏2 ×32 +…S2=b1×31+b2×32+…．由于 𝐴′3 =𝐵′3A3′=B3′，得 𝑆1 −𝑆2 =𝑏0 −𝑎0S1−S2=b0−a0．𝑆1,𝑆2S1,S2 有公因子 33，而 𝑏0 −𝑎0b0−a0 不能被 33 整除，与假设矛盾，因此 𝐴′3 ≠𝐵′3A3′≠B3′

当 𝑌10 <0Y10<0，证法与 𝑌10 >0Y10>0 相同．

故对于任意十进制 𝑌10Y10，均有唯一对应的平衡三进制 𝑋3X3．

练习题

Topcoder SRM 604 PowerOfThree

本页面部分内容译自博文Троичная сбалансированная система счисления 与其英文翻译版 Balanced Ternary．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．

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