二进制集合操作
一个数的二进制表示可以看作是一个集合（00
表示不在集合中，11 表示在集合中）．比如集合 {1,3,4,8}{1,3,4,8}，可以表示成 (100011010)2(100011010)2．而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作．
| 操作 | 集合表示 | 位运算表示 |
|---|---|---|
| 交集 | 𝑎 ∩𝑏a∩b | 𝑎AND𝑏aANDb |
| 并集 | 𝑎 ∪𝑏a∪b | 𝑎OR𝑏aORb |
| 补集 | ¯𝑎a¯ | NOT𝑎NOTa（全集为二进制都是 1） |
| 差集 | 𝑎 ∖𝑏a∖b | 𝑎ANDNOT𝑏aANDNOTb |
| 对称差 | 𝑎△𝑏a△b | 𝑎XOR𝑏aXORb |
在进一步介绍集合的子集遍历操作之前，先看位运算的有关应用例子．
模 2 的幂
一个数对 22 的非负整数次幂取模，等价于取二进制下一个数的后若干位，等价于和 𝑚𝑜𝑑 −1mod−1 进行与操作．
C++Python
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于是可以知道，22 的非负整数次幂对它本身取模，结果为 00，即如果 𝑛n 是 22 的非负整数次幂，𝑛n 和 𝑛 −1n−1 的与操作结果为 00．
事实上，对于一个正整数 𝑛n，𝑛 −1n−1 会将 𝑛n 的最低 11 位置零，并将后续位数全部置 11．因此，𝑛n 和 𝑛 −1n−1 的与操作等价于删掉 𝑛n 的最低 11 位．
借此可以判断一个数是不是 22 的非负整数次幂．当且仅当 𝑛n 的二进制表示只有一个 11 时，𝑛n 为 22 的非负整数次幂．
C++Python
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子集遍历
遍历一个二进制数表示的集合的全部子集，等价于枚举二进制数对应掩码的所有子掩码．
掩码是一串二进制码，用于和源码进行与运算，得到屏蔽源码的若干输入位后的新操作数．
掩码对于源码可以起到遮罩的作用，掩码中的 11 位意味着源码的相应位得到保留，掩码中的 00 位意味着源码的相应位进行置 00 操作．将掩码的若干 11 位改为 00 位可以得到掩码的子掩码，掩码本身也是自己的子掩码．
给定一个掩码 𝑚m，希望有效迭代 𝑚m 的所有子掩码 𝑠s，可以考虑基于位运算技巧的实现．
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或者使用更紧凑的 for 语句：
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这两段代码都不会处理等于 00 的子掩码，要想处理等于 00 的子掩码可以使用其他办法，例如：
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接下来证明，上面的代码访问了所有 𝑚m 的子掩码，没有重复，并且按降序排列．
假设有一个当前位掩码 𝑠s，并且想继续访问下一个位掩码．在掩码 𝑠s 中减去 11，等价于删除掩码 𝑠s 中最右边的设置位，并将其右边的所有位变为 11．
为了使 𝑠 −1s−1 变为新的子掩码，需要删除掩码 𝑚m 中未包含的所有额外的 11 位，可以使用位运算 `(s - 1) & m` 来进行此移除．
这两步操作等价于切割掩码 𝑠 −1s−1，以确定算术上可以取到的最大值，即按降序排列的 𝑠s 之后的下一个子掩码．
因此，该算法按降序生成该掩码的所有子掩码，每次迭代仅执行两个操作．
特殊情况是 𝑠 =0s=0．在执行 𝑠 −1s−1 之后得到 −1−1，其中所有位都为 11．在 `(s - 1) & m` 操作之后将得到新的 𝑠s 等于 𝑚m．因此，如果循环不以 𝑠 =0s=0 结束，算法的循环将无法终止．
使用 popcount(𝑚)popcount(m) 表示 𝑚m 二进制中 11 的个数，用这种方法可以在 𝑂(2popcount(𝑚))O(2popcount(m)) 的时间复杂度内遍历集合 𝑚m 的子集．
### 遍历所有掩码的子掩码
在使用状压 DP 的问题中，有时会希望对于每个掩码，遍历掩码的所有子掩码：
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这样做可以遍历大小为 𝑛n 的集合的每个子集的子集．
接下来证明，该操作的时间复杂度为 𝑂(3𝑛)O(3n)，𝑛n 为掩码总共的位数，即集合中元素的总数．
考虑第 𝑖i 位，即集合中第 𝑖i 个元素，有三种情况：
- 在掩码 𝑚m 中为 00，因此在子掩码 𝑠s 中为 00，即元素不在大小子集中．
- 在 𝑚m 中为 11，但在 𝑠s 中为 00，即元素只在大子集中，不在小子集中．
- 在 𝑚m 和 𝑠s 中均为 11，即元素同时在大小子集中．
总共有 𝑛n 位，因此有 3𝑛3n 个不同的组合．
还有一种证明方法是：
如果掩码 𝑚m 具有 𝑘k 个 11，那么它有 2𝑘2k 个子掩码．对于给定的 𝑘k，对应有 (𝑛𝑘)(nk) 个掩码 𝑚m，那么所有掩码的总数为：
𝑛∑𝑘=0(𝑛𝑘)2𝑘∑k=0n(nk)2k
上面的和等于使用二项式定理对 (1 +2)𝑛(1+2)n 的展开，因此有 3𝑛3n 个不同的组合．
参考资料
本页面主要译自博文Перебор всех подмасок данной маски 与其英文翻译版 Submask Enumeration．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．
习题
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- UVa 1439 - Exclusive Access 2
- UVa 11825 - Hackers' Crackdown
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