进位制
进位制 ，又称 进位系统 （carry system）、进制系统 、位置记法 （positional notation）、位值记数法 （place-value notation）、位置数值系统 （positional numeral system），是一种能用有限种符号表示所有自然数的数字系统．一种进位制可以使用的符号数目称为 基数 （radix）或 底数 （base），基数为 𝑛n
的进位制称为 𝑛n 进制（𝑛 >1n>1），例如我们最常用的十进制，通常只使用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这十个符号来记数．进位指的是「当一个数字的某一位达到基数时，将其置为 0 并使高一位的数加一」的操作．
一般地，我们常将一个 𝑛n 进制的数记作 (𝑎𝑘⋯𝑎1𝑎0)𝑛(ak⋯a1a0)n、(𝑎𝑘⋯𝑎1𝑎0)(𝑛)(ak⋯a1a0)(n)、𝑎𝑘⋯𝑎1𝑎0(𝑛)ak⋯a1a0(n)、𝑎𝑘⋯𝑎1𝑎0𝑛ak⋯a1a0n 等．若基数隐含在上下文中我们也可以省略下标．注意此处的 𝑎𝑘⋯𝑎1𝑎0ak⋯a1a0 并不是 𝑘 +1k+1 个数的乘积，而是一串序列．
对于 𝑘k 进制数 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0an⋯a1a0，其表示的值为 𝑎𝑛𝑘𝑛 +⋯ +𝑎1𝑘1 +𝑎0𝑘0 =∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑘𝑖ankn+⋯+a1k1+a0k0=∑i=0naiki；对一个数 𝑚m，设其 𝑘k 进制下的表示为 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0an⋯a1a0，则有：
𝑎0=𝑚−𝑞0𝑘,𝑞0=𝑓(𝑚/𝑘),𝑎1=𝑞0−𝑞1𝑘,𝑞1=𝑓(𝑞0/𝑘),⋮⋮𝑎𝑛=𝑞𝑛−1−𝑞𝑛𝑘,𝑞𝑛=𝑓(𝑞𝑛−1/𝑘)=0,a0=m−q0k,q0=f(m/k),a1=q0−q1k,q1=f(q0/k),⋮⋮an=qn−1−qnk,qn=f(qn−1/k)=0,
其中 𝑓(𝑥) =⌊𝑥⌋f(x)=⌊x⌋．
数 𝑛n 在 𝑘k 进制下表示的长度为 ⌈log𝑘(𝑛 +1)⌉⌈logk(n+1)⌉．
我们一般通过添加小数点「..」来表示小数1、添加负号「−−」来表示负数、在小数末尾的一段上添加上划线表示无限循环小数等．为了方便阅读，我们可以每隔若干数位添加间隔符号（如空格、,,、' 等），如 12 34512 345 表示 1234512345．
在计算机中，比较常用的进位制有二进制、八进制和十六进制．
不同进位制间的转换
十进制转其他进制
这里以二进制为例来演示，其他进制的原理与其类似．
整数部分，把十进制数不断执行除 22 操作，直至商数为 00，之后从下到上，取所有余数的数字，即为二进制的整数部分数字．小数部分，则用其乘 22，取其整数部分的结果，再用计算后的小数部分依此重复计算，算到小数部分全为 00 为止，之后从上到下，取所有计算后整数部分的数字，即为二进制的小数部分数字．
例子
将 35.2535.25 转化为二进制数．
整数部分：
35/2=17…1,17/2=8…1,8/2=4…0,4/2=2…0,2/2=1…0,1/2=0…1.35/2=17…1,17/2=8…1,8/2=4…0,4/2=2…0,2/2=1…0,1/2=0…1.
小数部分：
0.25×2=0.5…0,0.5×2=1…1.0.25×2=0.5…0,0.5×2=1…1.
即 35.25 =(100011.01)235.25=(100011.01)2．
实现
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### 其他进制转十进制
还是以二进制为例．二进制数转换为十进制数，只需将每个位的值，乘以 2𝑖2i 次即可，其中 𝑖i 为当前位的位数，个位的位数为 00．
例子
将 (11010.01)2(11010.01)2 转换为十进制数．
(11010.01)2=+ 1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=+ 0×2−1+1×2−2=26.25.(11010.01)2=+ 1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=+ 0×2−1+1×2−2=26.25.
即 (11010.01)2 =(26.25)10(11010.01)2=(26.25)10．
实现
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二进制/八进制/十六进制间的相互转换
一个八进制位可以用 3 个二进制位来表示（因为 23 =823=8），一个十六进制位可以用 4 个二进制位来表示（24 =1624=16），反之同理．
补数法
另请参阅：反码与补码
补数法 （method of complements）是用正数表示负数，使得可以用和正数加法相同的算法/电路/机械结构来计算减法的方法．补数法广泛用于计算器和计算机的设计中，用以简化结构．
对 𝑏b 进制下 𝑛n 位数 𝑎a，其 数基补数 （radix complement，称为 𝑏b 的补数）是 𝑏𝑛 −𝑎bn−a，其 缩减数基补数 （diminished radix complement，称为 𝑏 −1b−1 的补数，简称 减补数 ）是 𝑏𝑛 −1 −𝑎bn−1−a．在二进制下，数基补数叫做 22 的补数（two's complement），又叫做 补码 ；缩减数基补数叫做 11 的补数（ones' complement），又叫做 反码 ；在十进制下，数基补数又叫做 1010 的补数（ten's complement），缩减数基补数又叫做 99 的补数（nine's complement）；其他进制以此类推．
对 𝑏b 进制下的 𝑛n 位数 𝑥,𝑦x,y，当计算 𝑥 −𝑦x−y 时，我们有如下方法（若结果超过 𝑛n 位，则舍弃高位）：
- 考虑 𝑥x 的减补数 𝑥′ =𝑏𝑛 −1 −𝑥x′=bn−1−x，计算 𝑥′ +𝑦 =𝑏𝑛 −1 −𝑥 +𝑦x′+y=bn−1−x+y，则该结果的减补数即为答案．
- 考虑 𝑦y 的减补数 𝑦′ =𝑏𝑛 −1 −𝑦y′=bn−1−y，计算 𝑥 +𝑦′ =𝑏𝑛 −1 +𝑥 −𝑦x+y′=bn−1+x−y，直接加一即为答案．
- 考虑 𝑥x 的数基补数 𝑥′ =𝑏𝑛 −𝑥x′=bn−x，计算 𝑥′ +𝑦 =𝑏𝑛 −𝑥 +𝑦x′+y=bn−x+y，则该结果的数基补数即为答案．
- 考虑 𝑦y 的数基补数 𝑦′ =𝑏𝑛 −𝑦y′=bn−y，计算 𝑥 +𝑦′ =𝑏𝑛 +𝑥 −𝑦x+y′=bn+x−y，此即为答案．
另外，对 𝑘k 进制下的数，我们设 𝑑 =𝑘 −1d=k−1，则 ⋯𝑑𝑑 =:――𝑑 =∑∞𝑖=0𝑑𝑘𝑖 = −1⋯dd=:d―=∑i=0∞dki=−1，所以对 𝑛n 位数 𝑥x，设其数基补数在 𝑘k 进制下的表示为 𝑎𝑛−1⋯𝑎1𝑎0an−1⋯a1a0，则 ――𝑑𝑎𝑛−1⋯𝑎1𝑎0d―an−1⋯a1a0 即为 ∑𝑛−1𝑖=0𝑎𝑖𝑘𝑖 +∑∞𝑖=𝑛𝑑𝑘𝑖 =𝑘𝑛 −𝑥 +( −𝑘𝑛) = −𝑥∑i=0n−1aiki+∑i=n∞dki=kn−x+(−kn)=−x．这种「无限位的数」的思想可以推广为 𝑝 p 进数（𝑝p-adic number）．
此外，我们有一个关于补数和无限循环小数的有趣定理：
Midy 定理
设 𝑎a 是正整数，𝑝p 是正素数，𝑎/𝑝a/p 在 𝑏b 进制下的表示为 0.―――――𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑙0.a1a2⋯al―，其中 𝑙l 为（最短）循环节长度．若 𝑙l 是偶数4，设 𝑙 =2𝑘l=2k，则 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘a1a2⋯ak 是 𝑎𝑘+1𝑎𝑘+2⋯𝑎2𝑘ak+1ak+2⋯a2k 的减补数，即：
- 𝑎𝑖 +𝑎𝑖+𝑘 =𝑏ai+ai+k=b，
- 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘 +𝑎𝑘+1𝑎𝑘+2⋯𝑎2𝑘 =𝑏𝑘 −1a1a2⋯ak+ak+1ak+2⋯a2k=bk−1．
进一步，若 𝑙l 有非平凡因子 𝑘k，设 𝑙 =𝑛𝑘l=nk，则 ∑𝑛−1𝑖=0𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎(𝑖+1)𝑘∑i=0n−1aik+1aik+2⋯a(i+1)k 是 𝑏𝑘 −1bk−1 的倍数．
例子
对于 1/19 =0.――――――――――――052 631 578 947 368 421 =0.―――――032 745(8)1/19=0.052 631 578 947 368 421―=0.032 745―(8)，我们有：
- 052 631 578 +947 368 421 =999 999 999052 631 578+947 368 421=999 999 999，
- 052 +631 +578 +947 +368 +421 =3 ×999052+631+578+947+368+421=3×999，
- 032(8) +745(8) =777(8)032(8)+745(8)=777(8)，
- 03(8) +27(8) +45(8) =77(8)03(8)+27(8)+45(8)=77(8)．
证明
对定理中的 𝑎,𝑏,𝑝,𝑙,𝑛,𝑘a,b,p,l,n,k，不难发现 1 ≤𝑎 <𝑝1≤a<p，𝑏 >1b>1 且 (𝑎,𝑝) =(𝑏,𝑝) =1(a,p)=(b,p)=1．
对整数 0 ≤𝑖 <𝑙0≤i<l，令 𝑓(𝑖) =𝑏𝑖 ⋅𝑎/𝑝 −⌊𝑏𝑖 ⋅𝑎/𝑝⌋f(i)=bi⋅a/p−⌊bi⋅a/p⌋，我们有
0<𝑓(𝑖)=0.―――――――――――𝑎𝑖+1𝑎𝑖+2⋯𝑎𝑛𝑘𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑖<1⟹0<𝑝𝑓(𝑖)<𝑝.0<f(i)=0.ai+1ai+2⋯anka1a2⋯ai―<1⟹0<pf(i)<p.
注意到 𝑝𝑓(𝑖) ∈𝐍+pf(i)∈N+ 且 𝑝𝑓(𝑖) ≡𝑎𝑏𝑖(mod𝑝)pf(i)≡abi(modp)，因此 𝑝𝑓(𝑖) =𝑎𝑏𝑖mod𝑝pf(i)=abimodp．
令 𝑆𝑛 =∑𝑛−1𝑖=0𝑓(𝑖𝑘) =∑𝑛−1𝑖=00.――――――――――――𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎𝑛𝑘𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑖𝑘Sn=∑i=0n−1f(ik)=∑i=0n−10.aik+1aik+2⋯anka1a2⋯aik―，我们可以在各个小数间「交换」若干位（例如 0.――――142857 +0.――――285714 +0.――――571428 =0.――――141414 +0.――――282828 +0.――――575757 =0.――14 +0.――28 +0.――57 =14/99 +28/99 +57/99 =10.142857―+0.285714―+0.571428―=0.141414―+0.282828―+0.575757―=0.14―+0.28―+0.57―=14/99+28/99+57/99=1），则
𝑆𝑛=𝑛−1∑𝑖=00.―――――――――𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎(𝑖+1)𝑘=𝑛−1∑𝑖=0𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎(𝑖+1)𝑘/(𝑏𝑘−1),Sn=∑i=0n−10.aik+1aik+2⋯a(i+1)k―=∑i=0n−1aik+1aik+2⋯a(i+1)k/(bk−1),
进而
𝑝𝑆𝑛=𝑝𝑛−1∑𝑖=0𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎(𝑖+1)𝑘/(𝑏𝑘−1)=𝑛−1∑𝑖=0(𝑎𝑏𝑖𝑘mod𝑝),pSn=p∑i=0n−1aik+1aik+2⋯a(i+1)k/(bk−1)=∑i=0n−1(abikmodp),
因此
𝑛−1∑𝑖=0𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎(𝑖+1)𝑘=(𝑏𝑘−1)∑𝑛−1𝑖=0(𝑎𝑏𝑖𝑘mod𝑝)𝑝.∑i=0n−1aik+1aik+2⋯a(i+1)k=(bk−1)∑i=0n−1(abikmodp)p.
若 𝑝 ∣(𝑏𝑘−1)p∣(bk−1)，注意到
(𝑏𝑘−1)𝑎/𝑝=𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘.―――――――――――𝑎𝑘+1𝑎𝑘+2⋯𝑎𝑛𝑘𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘−0.――――――𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛𝑘,(bk−1)a/p=a1a2⋯ak.ak+1ak+2⋯anka1a2⋯ak―−0.a1a2⋯ank―,
则有 𝑎𝑘+1𝑎𝑘+2⋯𝑎𝑛𝑘𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘 =𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛𝑘ak+1ak+2⋯anka1a2⋯ak=a1a2⋯ank，进而 𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘 =𝑎𝑘+1𝑎𝑘+2⋯𝑎2𝑘 =⋯ =𝑎(𝑛−1)𝑘+1𝑎(𝑛−1)𝑘+2⋯𝑎𝑛𝑘a1a2⋯ak=ak+1ak+2⋯a2k=⋯=a(n−1)k+1a(n−1)k+2⋯ank，即 0.―――――𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑙 =0.―――――𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘0.a1a2⋯al―=0.a1a2⋯ak―，这与 𝑙l 的定义矛盾，因此 𝑝 ∤(𝑏𝑘−1)p∤(bk−1)．
故存在正整数 𝑐 =∑𝑛−1𝑖=0(𝑎𝑏𝑖𝑘mod𝑝)𝑝c=∑i=0n−1(abikmodp)p，使得
𝑛−1∑𝑖=0𝑎𝑖𝑘+1𝑎𝑖𝑘+2⋯𝑎(𝑖+1)𝑘=𝑐(𝑏𝑘−1).∑i=0n−1aik+1aik+2⋯a(i+1)k=c(bk−1).推论
对上述的 𝑏,𝑛,𝑘,𝑝b,n,k,p，有
𝑛−1∑𝑖=0𝑏𝑖𝑘≡0(mod𝑝).∑i=0n−1bik≡0(modp).
广义进制系统
标准的进制系统中，基数 𝑏b 总是一个固定的正数，每个数位在 𝑏b 种不同的符号中选取，用以表示一个非负数（不考虑小数点和负号）．实际上仍有许多记数系统和进制系统有类似的特征，但不完全符合进制系统的规定，我们把这样的记数系统称为 广义进制系统 或 非标准进制系统 （Non-standard positional numeral systems）．下面介绍几种常见的广义进制系统．
双射记数系统
标准的进制系统并不能和其表示的数字建立双射，如 11、0101、001001 表示的数是相同的2，而 双射记数系统 （bijective numeral system）可以和其表示的数字建立双射．
双射 𝑘k 进制（𝑘 ≥1k≥1）使用数集 {1,2,…,𝑘}{1,2,…,k} 来唯一表示一个数，规则如下：
- 用空串表示 00；
- 用非空串 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0an⋯a1a0 表示数 𝑎𝑛𝑘𝑛 +⋯ +𝑎1𝑘1 +𝑎0𝑘0 =∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑘𝑖ankn+⋯+a1k1+a0k0=∑i=0naiki．
对一个正数 𝑚m，设其双射 𝑘k 进制下的表示为 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0an⋯a1a0，则有：
𝑎0=𝑚−𝑞0𝑘,𝑞0=𝑓(𝑚/𝑘),𝑎1=𝑞0−𝑞1𝑘,𝑞1=𝑓(𝑞0/𝑘),⋮⋮𝑎𝑛=𝑞𝑛−1−𝑞𝑛𝑘,𝑞𝑛=𝑓(𝑞𝑛−1/𝑘)=0,a0=m−q0k,q0=f(m/k),a1=q0−q1k,q1=f(q0/k),⋮⋮an=qn−1−qnk,qn=f(qn−1/k)=0,
其中 𝑓(𝑥) =⌈𝑥⌉ −1f(x)=⌈x⌉−1．
例如 Microsoft Excel 的列标签采用的就是双射 2626 进制．
在双射记数系统下，我们有 一进制，一进制下的非空串只由 11 构成，串的长度即为其表示的数．
类似 补数法 下的叙述，在 𝑘 >1k>1 的双射 𝑘k 进制下，我们设 𝑑 =𝑘 −1d=k−1，则 ⋯𝑑𝑑 =:――𝑑 =∑∞𝑖=0𝑑𝑘𝑖 = −1⋯dd=:d―=∑i=0∞dki=−1，进而 ――𝑑𝑘 =0d―k=0，所以设 𝑥x 在双射 𝑘k 进制下的表示为 𝑎𝑛−1⋯𝑎1𝑎0an−1⋯a1a0，则 ――𝑑𝑘𝑎𝑛−1⋯𝑎1𝑎0d―kan−1⋯a1a0 即为 −𝑥−x．
下面是双射 𝑘k 进制数的一些性质：
- 长度为 𝑙 ≥0l≥0 的数共有 𝑘𝑙kl 种．
- 𝑘 ≥2k≥2 时，数 𝑛n 在双射 𝑘k 进制下表示的长度为 ⌊log𝑘(𝑛 +1)(𝑘 −1)⌋⌊logk(n+1)(k−1)⌋．
- 𝑘 ≥2k≥2 时，若一个数 𝑛n 在 𝑘k 进制下的表示中不含 00，则其在 𝑘k 进制下的表示和在双射 𝑘k 进制下的表示相同．
双射 𝑘k 进制转十进制和 𝑘k 进制转十进制的代码相同，下面是十进制转双射 𝑘k 进制的参考实现
实现
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### 有符号位数进制
有的进位制系统允许数位中出现负数，例如 [平衡三进制](../balanced-ternary/)．
### Gray 码
主条目：[格雷码](../gray-code/)
Gray 码又叫 **循环二进制码** 或 **反射二进制码** （reflected binary code，RBC），是一种特殊的二进制数字系统，常用于数据校验中．
### 非正基数进制
我们知道对于 𝑘k 进制数 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0an⋯a1a0，其表示的值为 ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑘𝑖∑i=0naiki，我们稍加修改即可定义 −𝑘−k 进制数 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0(−𝑘)an⋯a1a0(−k) 表示 ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖( −𝑘)𝑖∑i=0nai(−k)i，其中 𝑎𝑛,…,𝑎1,𝑎0 ∈{0,1,…,𝑘 −1}an,…,a1,a0∈{0,1,…,k−1}．例如 12345(−10) =8265(10)12345(−10)=8265(10)．这种进制系统叫做 [**负底数进制**](https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_base)（negative-base system）．
类似地，我们也可以定义 [**复底数进制**](https://en.wikipedia.org/wiki/Complex-base_system)（complex-base system），如 [**2 i2i 进制**](https://en.wikipedia.org/wiki/Quater-imaginary_base)（quater-imaginary base、quater-imaginary numeral system），我们还可以定义 [**非整数进位制**](https://en.wikipedia.org/wiki/Non-integer_base_of_numeration)（non-integer base of numeration）用于表示实数的 **𝛽 β 展开**（𝛽β-expansion）等．
### 混合基数进制
标准的进制系统中，每一个数位对应的基数都是固定的，而混合基数进制允许每一个数位对应不同的基数．混合基数进制系统最常见的应用就是计时：小时采用 2424 进制，分钟和秒采用 6060 进制．
𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0an⋯a1a0 在 𝑏b 进制下表示的数为 ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑏𝑖∑i=0naibi，而在混合基数进制下，其表示的数为 ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖∏𝑖−1𝑗=0𝑏𝑗∑i=0nai∏j=0i−1bj，其中 𝑏𝑗bj 为 𝑎𝑗aj 对应的基数．
在算法竞赛中，最常见的混合基数进制系统是 [**阶乘进制**](https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial_number_system)（factorial number system），其中的数可以记作 𝑎𝑛⋯𝑎1𝑎0 !an⋯a1a0 !，其表示的数为 ∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑖!∑i=0naii!3．阶乘进制在算法竞赛中的应用可参见 [Lehmer 码/Cantor 展开](../../permutation/#排名)．
实现（十进制转阶乘进制）
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实现（阶乘进制转十进制）
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## C++ 中的实现
对于非负数，C++ 中用 `<前缀><数位><后缀>` 表示一个整数字面量，其中 `<数位>` 和 `<后缀>` 均可以为空．`<后缀>` 用于表示字面量的类型，如 `u` 或 `U` 表示该字面量为 `unsigned`、`l` 或 `L` 表示该字面量为 `long` 等．对于 `<前缀>`：
* 当 `<前缀>` 为 `0x` 或 `0X` 时表示十六进制字面量，此时 `<数位>` 中的字符只能在 `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, A, b, B, c, C, d, D, e, E, f, F` 中选取．例如 `0x1234ABCD` 为 1234ABCD(16) =305 441 7411234ABCD(16)=305 441 741；
* 当 `<前缀>` 为 `0` 时表示八进制字面量，此时 `<数位>` 中的字符只能在 `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7` 中选取．例如 `01234567` 为 1234567(8) =3423911234567(8)=342391；5
* 当 `<前缀>` 为 `1`、`2`、`3`、`4`、`5`、`6`、`7`、`8` 或 `9` 时表示十进制字面量，此时 `<数位>` 中的字符只能在 `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` 中选取；
* C++14 起，当 `<前缀>` 为 `0b` 或 `0B` 时表示二进制字面量，此时 `<数位>` 中的字符只能在 `0, 1` 中选取．例如 `0b11001010` 为 11001010(2) =20211001010(2)=202．
## 参考资料与注释
* [Positional notation - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Positional_notation)
* [Method of complements - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_complements)
* [Non-standard positional numeral systems - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_positional_numeral_systems)
* [Bijective numeration - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Bijective_numeration)
* [Midy's theorem - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Midy%27s_theorem)
* [N3472 - Binary Literals in the C++ Core Language](https://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3472.pdf)
* * *
1. 有的地区使用「,,」表示小数点． ↩
2. 我们把最高的非 00 位之前的 00 称为 [**前导零**](https://en.wikipedia.org/wiki/Leading_zero)（leading zero）．类似地，我们可以定义 [**后导零**](https://en.wikipedia.org/wiki/Trailing_zero)（trailing zero）． ↩
3. 𝑎𝑖ai 对应的基数是 𝑖 +1i+1，0 ≤𝑎𝑖 ≤𝑖0≤ai≤i．注意到 (𝑛 +1)! −𝑛! =𝑛 ⋅𝑛!(n+1)!−n!=n⋅n!，所以数在阶乘进制下的表示在去除前导零的情况下是唯一的． ↩
4. 当 𝑎 =1a=1 时，在十进制下满足该条件的素数序列是 [A028416](https://oeis.org/A028416)． ↩
5. `0` 是八进制字面量． ↩
* * *
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