条件概率与独立性
概述
当某事件已经发生时，一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发生变化．例如在手游抽卡时，我们可能会认为单次抽卡出六星与不出六星是等概率的，但随着我们连抽 5050
发一个六星都没有，再固执地认为「出六星与不出六星等概率」就显得不是那么明智．
总之，研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的．
条件概率
定义
若已知事件 𝐴A 发生，在此条件下事件 𝐵B 发生的概率称为 条件概率 ，记作 𝑃(𝐵|𝐴)P(B|A)．
在概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 中，若事件 𝐴 ∈FA∈F 满足 𝑃(𝐴) >0P(A)>0，则条件概率 𝑃( ⋅|𝐴)P(⋅|A) 定义为
𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)∀𝐵∈FP(B|A)=P(AB)P(A)∀B∈F
可以验证根据上式定义出的 𝑃( ⋅|𝐴)P(⋅|A) 是 (Ω,F)(Ω,F) 上的概率函数．
根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式：
- 概率乘法公式 ：在概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 中，若 𝑃(𝐴) >0P(A)>0，则对任意事件 𝐵B 都有
𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)P(AB)=P(A)P(B|A)
- 全概率公式 ：在概率空间 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 中，若一组事件 𝐴1,⋯,𝐴𝑛A1,⋯,An 两两不交且和为 ΩΩ，则对任意事件 𝐵B 都有
𝑃(𝐵)=𝑛∑𝑖=1𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|Ai)
Bayes 公式
一般来说，设可能导致事件 𝐵B 发生的原因为 𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴𝑛A1,A2,⋯,An，则在 𝑃(𝐴𝑖)P(Ai) 和 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)P(B|Ai) 已知时可以通过全概率公式计算事件 𝐵B 发生的概率．但在很多情况下，我们需要根据「事件 𝐵B 发生」这一结果反推其各个原因事件的发生概率．于是有
𝑃(𝐴𝑖|𝐵)=𝑃(𝐴𝑖𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)∑𝑛𝑗=1𝑃(𝐴𝑗)𝑃(𝐵|𝐴𝑗)P(Ai|B)=P(AiB)P(B)=P(Ai)P(B|Ai)∑j=1nP(Aj)P(B|Aj)
上式即 Bayes 公式．
事件的独立性
在研究条件概率的过程中，可能会出现 𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐵)P(B|A)=P(B) 的情况．从直观上讲就是事件 𝐵B 是否发生并不会告诉我们关于事件 𝐴A 的任何信息，即事件 𝐵B 与事件 𝐴A「无关」．于是我们就有了下面的定义
定义
若同一概率空间中的事件 𝐴A,𝐵B 满足
𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)P(AB)=P(A)P(B)
则称 𝐴A,𝐵B 独立 ．对于多个事件 𝐴1,𝐴2,⋯,𝐴𝑛A1,A2,⋯,An，我们称其独立，当且仅当对任意一组事件 {𝐴𝑖𝑘 :1 ≤𝑖1 <𝑖2 <⋯ <𝑖𝑘 ≤𝑛}{Aik:1≤i1<i2<⋯<ik≤n} 都有
𝑃(𝐴𝑖1𝐴𝑖2⋯𝐴𝑖𝑟)=𝑟∏𝑘=1𝑃(𝐴𝑖𝑘)P(Ai1Ai2⋯Air)=∏k=1rP(Aik)
多个事件的独立性
对于多个事件，一般不能从两两独立推出这些事件独立．考虑以下反例：
有一个正四面体骰子，其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色，另一面则三色皆有．现在扔一次该骰子，令事件 𝐴A,𝐵B,𝐶C 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色．
不难计算 𝑃(𝐴) =𝑃(𝐵) =𝑃(𝐶) =12P(A)=P(B)=P(C)=12，而 𝑃(𝐴𝐵) =𝑃(𝐵𝐶) =𝑃(𝐶𝐴) =𝑃(𝐴𝐵𝐶) =14P(AB)=P(BC)=P(CA)=P(ABC)=14．
显然 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C 两两独立，但由于 𝑃(𝐴𝐵𝐶) ≠𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，故 𝐴,𝐵,𝐶A,B,C 不独立．
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