基本概念
概述
在研究具体的随机现象时我们通常着重关注以下要素：
- 样本空间 ΩΩ
，指明随机现象所有可能出现的结果． - 事件域 FF，表示我们所关心的所有事件．
- 概率 𝑃P，描述每一个事件发生的可能性大小．
样本空间、随机事件
定义
一个随机现象中可能发生的不能再细分的结果被称为 样本点 ．所有样本点的集合称为 样本空间 ，通常用 ΩΩ 来表示．
一个 随机事件 是样本空间 ΩΩ 的子集，它由若干样本点构成，用大写字母 𝐴,𝐵,𝐶,⋯A,B,C,⋯ 表示．
对于一个随机现象的结果 𝜔ω 和一个随机事件 𝐴A，我们称事件 𝐴A 发生了 当且仅当 𝜔 ∈𝐴ω∈A．
例如，掷一次骰子得到的点数是一个随机现象，其样本空间可以表示为 Ω ={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6}．设随机事件 𝐴A 为「获得的点数大于 44」，则 𝐴 ={5,6}A={5,6}．若某次掷骰子得到的点数 𝜔 =3ω=3，由于 𝜔 ∉𝐴ω∉A，故事件 𝐴A 没有发生．
事件的运算
由于我们将随机事件定义为了样本空间 ΩΩ 的子集，故我们可以将集合的运算（如交、并、补等）移植到随机事件上．记号与集合运算保持一致．
特别的，事件的并 𝐴 ∪𝐵A∪B 也可记作 𝐴 +𝐵A+B，事件的交 𝐴 ∩𝐵A∩B 也可记作 𝐴𝐵AB，此时也可分别称作 和事件 和 积事件 ．
事件域
研究具体的随机现象时我们需要明确哪些事件是我们感兴趣的．根据随机事件的定义，显然有 F ⊂2ΩF⊂2Ω（记号 2Ω2Ω 表示 ΩΩ 的幂集），但 F =2ΩF=2Ω 却不是必须的．这在样本空间 ΩΩ 有限时可能有些难以理解，毕竟 2Ω2Ω 尽管更大了但仍然有限．而当 ΩΩ 为无穷集时，2Ω2Ω 的势变得更大，其中也难免会出现一些「性质不太好」且我们不关心的事件，这时为了兼顾这些事件而放弃一些性质就显得得不偿失了．
尽管 F =2ΩF=2Ω 不是必须的，这并不代表 2Ω2Ω 的任一子集都能成为事件域．我们通常会对一些事件进行运算得到的结果事件的概率感兴趣，因此我们希望事件域 FF 满足下列条件：
- ∅ ∈F∅∈F；
- 若 𝐴 ∈FA∈F，则补事件 ¯𝐴 ∈FA¯∈F；
- 若有一列事件 𝐴𝑛 ∈F,𝑛 =1,2,3…An∈F,n=1,2,3…，则 ⋃𝐴𝑛 ∈F⋃An∈F．
简言之，就是事件域 FF 对在补运算、和可数并下是封闭的，且包含元素 ∅∅．
可以证明满足上述三个条件的事件域 FF 对可数交也是封闭的．
以掷骰子为例，当样本空间记为 Ω ={1,2,3,4,5,6}Ω={1,2,3,4,5,6} 时，以下两个集合能够成为事件域：
- F1 ={∅,Ω}F1={∅,Ω}
- F2 ={∅,{1,3,5},{2,4,6},Ω}F2={∅,{1,3,5},{2,4,6},Ω}
但以下两个集合则不能
- F3 ={∅,{1},Ω}F3={∅,{1},Ω}（对补不封闭）
- F4 ={{1,3,5},{2,4,6}}F4={{1,3,5},{2,4,6}}（不含有 ∅∅ 且对并不封闭）
概率
定义
古典定义
在概率论早期实践中，由于涉及到的随机现象都比较简单，具体表现为样本空间 ΩΩ 是有限集，且直观上所有样本点是等可能出现的，因此人们便总结出了下述定义：
如果一个随机现象满足：
- 只有有限个基本结果；
- 每个基本结果出现的可能性是一样的；
那么对于每个事件 𝐴A，定义它的概率为
𝑃(𝐴)=#(𝐴)#(Ω)P(A)=#(A)#(Ω)
其中 #( ⋅)#(⋅) 表示对随机事件（一个集合）大小的度量．
后来人们发现这一定义可以直接推广到 ΩΩ 无限的一部分情景中，于是就有了所谓 几何概型．
公理化定义
上述基于直观认识的定义在逻辑上有一个很大的漏洞：在定义「概率」这一概念时用到了「可能性」这一说法，产生了循环定义的问题．同时「等可能」在样本空间无限时会产生歧义，由此产生了包括 Bertrand 悖论 在内的一系列问题．
经过不断探索，苏联数学家柯尔莫哥洛夫于 1933 年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的公理化定义：
概率函数 𝑃P 是一个从事件域 FF 到闭区间 [0,1][0,1] 的映射，且满足：
- 规范性 ：事件 ΩΩ 的概率值为 11，即 𝑃(Ω) =1P(Ω)=1．
- 可数可加性 ：若一列事件 𝐴1,𝐴2,⋯A1,A2,⋯ 两两不交，则 𝑃(⋃𝑖≥1𝐴𝑖) =∑𝑖≥1𝑃(𝐴𝑖)P(⋃i≥1Ai)=∑i≥1P(Ai)．
概率函数的性质
对于任意随机事件 𝐴,𝐵 ∈FA,B∈F，有
- 单调性 ：若 𝐴 ⊂𝐵A⊂B，则有 𝑃(𝐴) ≤𝑃(𝐵)P(A)≤P(B)．
- 容斥原理 ：𝑃(𝐴 +𝐵) =𝑃(𝐴) +𝑃(𝐵) −𝑃(𝐴𝐵)P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)．
- 𝑃(𝐴 −𝐵) =𝑃(𝐴) −𝑃(𝐴𝐵)P(A−B)=P(A)−P(AB)，这里 𝐴 −𝐵A−B 表示差集．
概率空间
我们在一开始提到，研究具体的随机现象时我们通常关注样本空间 ΩΩ、事件域 FF 以及概率函数 𝑃P．我们将三元组 (Ω,F,𝑃)(Ω,F,P) 称为一个概率空间．
概率只有在确定的概率空间下讨论才有意义．我们前面提到的 Bertrand 悖论归根结底就是因对样本空间 ΩΩ 的定义不明确而产生的．
参考资料与注释
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