数值积分
定积分的定义
简单来说，函数 𝑓(𝑥)f(x)
在区间 [𝑙,𝑟][l,r] 上的定积分 ∫𝑟𝑙𝑓(𝑥)d𝑥∫lrf(x)dx 指的是 𝑓(𝑥)f(x) 在区间 [𝑙,𝑟][l,r] 中与 𝑥x 轴围成的区域的面积（其中 𝑥x 轴上方的部分为正值，𝑥x 轴下方的部分为负值）．
很多情况下，我们需要高效，准确地求出一个积分的近似值．下面介绍的 辛普森法 ，就是这样一种求数值积分的方法．
辛普森法
这个方法的思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算．
二次函数积分公式（辛普森公式）
对于一个二次函数 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐f(x)=ax2+bx+c，有：
∫𝑟𝑙𝑓(𝑥)d𝑥=(𝑟−𝑙)(𝑓(𝑙)+𝑓(𝑟)+4𝑓(𝑙+𝑟2))6∫lrf(x)dx=(r−l)(f(l)+f(r)+4f(l+r2))6
推导过程： 对于一个二次函数 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐f(x)=ax2+bx+c； 求积分可得 𝐹(𝑥) =∫𝑥0𝑓(𝑥)d𝑥 =𝑎3𝑥3 +𝑏2𝑥2 +𝑐𝑥 +𝐷F(x)=∫0xf(x)dx=a3x3+b2x2+cx+D 在这里 D 是一个常数，那么
∫𝑟𝑙𝑓(𝑥)d𝑥=𝐹(𝑟)−𝐹(𝑙)=𝑎3(𝑟3−𝑙3)+𝑏2(𝑟2−𝑙2)+𝑐(𝑟−𝑙)=(𝑟−𝑙)(𝑎3(𝑙2+𝑟2+𝑙𝑟)+𝑏2(𝑙+𝑟)+𝑐)=𝑟−𝑙6(2𝑎𝑙2+2𝑎𝑟2+2𝑎𝑙𝑟+3𝑏𝑙+3𝑏𝑟+6𝑐)=𝑟−𝑙6((𝑎𝑙2+𝑏𝑙+𝑐)+(𝑎𝑟2+𝑏𝑟+𝑐)+4(𝑎(𝑙+𝑟2)2+𝑏(𝑙+𝑟2)+𝑐))=𝑟−𝑙6(𝑓(𝑙)+𝑓(𝑟)+4𝑓(𝑙+𝑟2))∫lrf(x)dx=F(r)−F(l)=a3(r3−l3)+b2(r2−l2)+c(r−l)=(r−l)(a3(l2+r2+lr)+b2(l+r)+c)=r−l6(2al2+2ar2+2alr+3bl+3br+6c)=r−l6((al2+bl+c)+(ar2+br+c)+4(a(l+r2)2+b(l+r2)+c))=r−l6(f(l)+f(r)+4f(l+r2))
根据这个辛普森公式，我们先介绍一种普通的辛普森积分法．
普通辛普森法
1743 年，这种方法发表于托马斯·辛普森的一篇论文中．
描述
给定一个自然数 𝑛n，将区间 [𝑙,𝑟][l,r] 分成 2𝑛2n 个等长的区间 𝑥x．
𝑥𝑖 =𝑙 +𝑖ℎ, 𝑖 =0…2𝑛,xi=l+ih, i=0…2n, ℎ =𝑟−𝑙2𝑛.h=r−l2n.
我们就可以计算每个小区间 [𝑥2𝑖−2,𝑥2𝑖][x2i−2,x2i]，𝑖 =1…𝑛i=1…n 的积分值，将所有区间的积分值相加即为总积分．
对于 [𝑥2𝑖−2,𝑥2𝑖][x2i−2,x2i]，𝑖 =1…𝑛i=1…n 的一个区间，选其中的三个点 (𝑥2𝑖−2,𝑥2𝑖−1,𝑥2𝑖)(x2i−2,x2i−1,x2i) 就可以构成一条抛物线从而得到一个函数 𝑃(𝑥)P(x)，这个函数存在且唯一．计算原函数在该区间的积分值就变成了计算新的二次函数 𝑃(𝑥)P(x) 在该段区间的积分值．这样我们就可以利用辛普森公式来近似计算它．
∫𝑥2𝑖𝑥2𝑖−2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈∫𝑥2𝑖𝑥2𝑖−2𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 =(𝑓(𝑥2𝑖−2)+4𝑓(𝑥2𝑖−1)+(𝑓(𝑥2𝑖))ℎ3∫x2i−2x2if(x) dx≈∫x2i−2x2iP(x) dx=(f(x2i−2)+4f(x2i−1)+(f(x2i))h3
将其分段求和即可得到如下结论：
∫𝑟𝑙𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈(𝑓(𝑥0)+4𝑓(𝑥1)+2𝑓(𝑥2)+4𝑓(𝑥3)+2𝑓(𝑥4)+…+4𝑓(𝑥2𝑁−1)+𝑓(𝑥2𝑁))ℎ3∫lrf(x)dx≈(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+2f(x4)+…+4f(x2N−1)+f(x2N))h3
误差
我们直接给出结论，普通辛普森法的误差为：
−190(𝑟−𝑙2)5𝑓(4)(𝜉)−190(r−l2)5f(4)(ξ)
其中 𝜉ξ 是位于区间 [𝑙,𝑟][l,r] 的某个值．
实现
C++Python
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自适应辛普森法
普通的方法为保证精度在时间方面无疑会受到 𝑛n 的限制，我们应该找一种更加合适的方法．
现在唯一的问题就是如何进行分段．如果段数少了计算误差就大，段数多了时间效率又会低．我们需要找到一个准确度和效率的平衡点．
我们这样考虑：假如有一段图像已经很接近二次函数的话，直接带入公式求积分，得到的值精度就很高了，不需要再继续分割这一段了．
于是我们有了这样一种分割方法：每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似的话就直接代入公式计算，否则将当前段分割成左右两段递归求解．
现在就剩下一个问题了：如果判断每一段和二次函数是否相似？
我们把当前段直接代入公式求积分，再将当前段从中点分割成两段，把这两段再直接代入公式求积分．如果当前段的积分和分割成两段后的积分之和相差很小的话，就可以认为当前段和二次函数很相似了，不用再递归分割了．
上面就是自适应辛普森法的思想．在分治判断的时候，除了判断精度是否正确，一般还要强制执行最少的迭代次数．
参考代码如下：
C++Python
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习题
参考资料
<https://doi.org/10.1145/321526.321537>：该文章讨论了自适应 Simpson 法的改进方案，其中详细论述了上文代码中的常数 15 的由来与优势．
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