Entringer Number
恩特林格数
恩特林格数（Entringer number，OEIS A008281）𝐸(𝑛,𝑘)E(n,k)
是满足下述条件的 00 到 𝑛n 共 𝑛 +1n+1 个数的置换数目：
- 首元素是 𝑘k；
- 首元素的下一个元素比首元素小，再下一个元素比前一个元素大，再下一个元素比前一个元素小……后面相邻元素的大小关系均满足这样的规则．
恩特林格数的初值有：
𝐸(0,0)=1E(0,0)=1𝐸(𝑛,0)=0E(n,0)=0
有递推关系：
𝐸(𝑛,𝑘)=𝐸(𝑛,𝑘−1)+𝐸(𝑛−1,𝑛−𝑘)E(n,k)=E(n,k−1)+E(n−1,n−k)
Seidel–Entringer–Arnold 三角
恩特林格数的一个适当排列的数字三角，称为 Seidel–Entringer–Arnold 三角（Seidel–Entringer–Arnold triangle，OEIS A008280）．该三角是按照「牛耕」顺序（ox-plowing order）排列的恩特林格数 𝐸(𝑛,𝑘)E(n,k)：
𝐸(0,0)𝐸(1,0)→𝐸(1,1)𝐸(2,2)←𝐸(2,1)←𝐸(2,0)𝐸(3,0)→𝐸(3,1)→𝐸(3,2)→𝐸(3,3)𝐸(4,4)←𝐸(4,3)←𝐸(4,2)←𝐸(4,1)←𝐸(4,0)E(0,0)E(1,0)→E(1,1)E(2,2)←E(2,1)←E(2,0)E(3,0)→E(3,1)→E(3,2)→E(3,3)E(4,4)←E(4,3)←E(4,2)←E(4,1)←E(4,0)
即：
10→11←1←00→1→2→25←5←4←2←010→11←1←00→1→2→25←5←4←2←0
按照这种方式排列的恩特林格数的优势是，与它的递推关系 𝐸(𝑛,𝑘) =𝐸(𝑛,𝑘 −1) +𝐸(𝑛 −1,𝑛 −𝑘)E(n,k)=E(n,k−1)+E(n−1,n−k) 一致，可以方便记忆和理解．
恩特林格数有一个指数型生成函数：
∞∑𝑚=0∞∑𝑛=0𝐸(𝑚+𝑛,12(𝑚+𝑛+(−1)𝑚+𝑛(𝑛−𝑚)))𝑥𝑚𝑚!𝑥𝑛𝑛!=cos𝑥+sin𝑥cos(𝑥+𝑦)∑m=0∞∑n=0∞E(m+n,12(m+n+(−1)m+n(n−m)))xmm!xnn!=cosx+sinxcos(x+y)
这个生成函数的系数分布事实上是上面的 Seidel–Entringer–Arnold 三角的简单拉伸变形：
𝐸(0,0)𝐸(1,1)𝐸(2,0)𝐸(3,3)𝐸(4,0)𝐸(1,0)𝐸(2,1)𝐸(3,2)𝐸(4,1)𝐸(2,2)𝐸(3,1)𝐸(4,2)𝐸(3,0)𝐸(4,3)𝐸(4,4)E(0,0)E(1,1)E(2,0)E(3,3)E(4,0)E(1,0)E(2,1)E(3,2)E(4,1)E(2,2)E(3,1)E(4,2)E(3,0)E(4,3)E(4,4)
即：
110200122114055110200122114055
zigzag 置换
一个 zigzag 置换（zigzag permutation）是一个 11 到 𝑛n 的排列 𝑐1c1 到 𝑐𝑖ci，使得任意一个元素 𝑐𝑖ci 的大小都不介于 𝑐𝑖−1ci−1 和 𝑐𝑖+1ci+1 之间．
对于 zigzag 置换的个数 𝑍𝑛Zn（OEIS A001250），从 𝑛 =0n=0 开始有：
1,1,2,4,10,32,122,544,⋯1,1,2,4,10,32,122,544,⋯
例如，前几个 𝑛n 的交替置换有：
𝑛=1:{1}𝑛=2:{1,2},{2,1}𝑛=3:{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2}𝑛=4:{1,3,2,4},{1,4,2,3},{2,1,4,3},{2,3,1,4},{2,4,1,3},{3,1,4,2},{3,2,4,1},{3,4,1,2},{4,1,3,2},{4,2,3,1}n=1:{1}n=2:{1,2},{2,1}n=3:{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2}n=4:{1,3,2,4},{1,4,2,3},{2,1,4,3},{2,3,1,4},{2,4,1,3},{3,1,4,2},{3,2,4,1},{3,4,1,2},{4,1,3,2},{4,2,3,1}
交替置换与 zigzag 数
（注意和「错位排列」进行概念上的区分．）
对于大于 11 的 𝑛n，每个 zigzag 置换翻转过来仍旧为 zigzag 置换，可以两两配对，所以必然为偶数．
这里再给出一种配对的方法：将 zigzag 置换分为交替置换（alternating permutation）和反交替置换（reverse alternating permutation）．
交替置换的首元素大于第二个元素，大小关系为：
𝑐1>𝑐2<𝑐3>⋯c1>c2<c3>⋯
反交替置换的首元素小于第二个元素，大小关系为：
𝑐1<𝑐2>𝑐3<⋯c1<c2>c3<⋯
如果将 11 和 𝑛n 位置互换，22 和 𝑛 −1n−1 位置互换，以此类推，即可将交替置换与反交替置换两个集合互换．因此，交替置换与反交替置换的个数相等，恰好为 zigzag 置换的一半．
对于大于 11 的 𝑛n，记：
𝐴𝑛=𝑍𝑛2An=Zn2
定义初值：
𝐴0=𝐴1=1A0=A1=1
这里的 𝐴𝑛An 称为 zigzag 数（Euler zigzag number，OEIS A000111），从 𝑛 =0n=0 开始有：
1,1,1,2,5,16,61,272,⋯1,1,1,2,5,16,61,272,⋯
接下来试着求解 𝐴𝑛An．
从 11 到 𝑛n 之中，选取 𝑘k 个数构成子集，有 (𝑛𝑘)(nk) 种选法．
在这个 𝑘k 元子集中，选反交替置换 𝑢u，有 𝐴𝑘Ak 种选法；用全集减掉这个 𝑘k 元子集，剩余的 𝑛 −𝑘n−k 元子集中，选反交替置换 𝑣v，有 𝐴𝑛−𝑘An−k 种选法．
考虑 𝑛 +1n+1 元排列 𝑤w，将 𝑢u 倒置作为开头，接上 𝑛 +1n+1，再接上 𝑣v．那么，𝑤w 一定是 zigzag 置换，并且任意一个 𝑛 +1n+1 元 zigzag 置换，都可以在 𝑛 +1n+1 处截断得到对应的反交替置换 𝑢u 和 𝑣v，并且不同的 𝑛 +1n+1 元 zigzag 置换对应的 𝑢u 和 𝑣v 不同．
因此有递推关系：
2𝐴𝑛+1=𝑛∑𝑘=0(𝑛𝑘)𝐴𝑘𝐴𝑛−𝑘2An+1=∑k=0n(nk)AkAn−k2(𝑛+1)𝐴𝑛+1(𝑛+1)!=𝑛∑𝑘=0𝐴𝑘𝑘!𝐴𝑛−𝑘(𝑛−𝑘)!2(n+1)An+1(n+1)!=∑k=0nAkk!An−k(n−k)!
当 𝑛n 为 00 时并不满足这个递推式，初值 𝐴0A0 和 𝐴1A1 都是 11．
可见，这是一个指数型生成函数的卷积．假设 𝐴𝑛An 的指数型生成函数为 𝑦y，就有微分方程：
2d𝑦d𝑥=𝑦2+12dydx=y2+1
等式右面加 11 是为了处理 𝑛n 为 00 时的特殊情况．该方程的通解为：
𝑦=tan(12𝑥+𝐶)y=tan(12x+C)
代入第 00 项为 11 之后，可以得到特解：
𝑦=tan𝑥+sec𝑥y=tanx+secx
正切函数是奇函数，正割函数是偶函数，两者之和构成 zigzag 数的生成函数．
恩特林格数与 zigzag 数的关系
根据恩特林格数的定义，恩特林格数 𝐸(𝑛,𝑘)E(n,k) 是首元素为 𝑘k 的 00 到 𝑛n 的交替置换个数．因此恩特林格数与 zigzag 数事实上有关系：
𝐴𝑛=𝐸(𝑛,𝑛)An=E(n,n)
将 𝐴𝑛An 称为「zigzag 数」也有原因：记 𝐸𝑛En 是欧拉数（Euler number），𝐵𝑛Bn 是伯努利数．
当 𝑛n 为偶数时，偶数项下标的 zigzag 数也称「正割数」𝑆𝑛Sn 或者「zig 数」．有关系：
𝐴𝑛=(−1)𝑛/2𝐸𝑛An=(−1)n/2En
前几项为（OEIS A000364）：
1,1,5,61,1385,⋯1,1,5,61,1385,⋯
当 𝑛n 为奇数时，奇数项下标的 zigzag 数也称「正切数」𝑇𝑛Tn 或者「zag 数」．有关系：
𝐴𝑛=(−1)(𝑛−1)/22𝑛+1(2𝑛+1−1)𝐵𝑛+1𝑛+1An=(−1)(n−1)/22n+1(2n+1−1)Bn+1n+1
前几项为（OEIS A000182）：
1,2,16,272,7936,⋯1,2,16,272,7936,⋯
于是对于在 𝑥 =0x=0 处的泰勒展开，可以给出正割数和正切数：
sec𝑥=𝐴0+𝐴2𝑥22!+𝐴4𝑥44!+⋯secx=A0+A2x22!+A4x44!+⋯tan𝑥=𝐴1𝑥+𝐴3𝑥33!+𝐴5𝑥55!+⋯tanx=A1x+A3x33!+A5x55!+⋯
或者写到一起：
sec𝑥+tan𝑥=𝐴0+𝐴1𝑥+𝐴2𝑥22!+𝐴3𝑥33!+𝐴4𝑥44!+𝐴5𝑥55!+⋯secx+tanx=A0+A1x+A2x22!+A3x33!+A4x44!+A5x55!+⋯
构成 zigzag 数的生成函数．
参考资料与链接
本页面最近更新： 2026/1/7 08:56:54，更新历史 发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！ 本页面贡献者：Tiphereth-A, Great-designer, CCXXXI, ChungZH, jifbt 本页面的全部内容在CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用