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Prüfer 序列

Note

本文翻译自 e-maxx Prüfer Code．另外解释一下，原文的结点是从 00 开始标号的，本文按照大多数人的习惯改成了从 11 标号．

这篇文章介绍 Prüfer 序列 (Prüfer code)，这是一种将带标号的树用一个唯一的整数序列表示的方法．

使用 Prüfer 序列可以证明凯莱公式(Cayley's formula)．并且我们也会讲解如何计算在一个图中加边使图连通的方案数．

注意：我们不考虑含有 11 个结点的树．

Prüfer 序列

引入

Prüfer 序列可以将一个带标号 𝑛n 个结点的树用 [1,𝑛][1,n] 中的 𝑛 −2n−2 个整数表示．你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射．常用组合计数问题中．

Heinz Prüfer 于 1918 年发明这个序列来证明凯莱公式．

对树建立 Prüfer 序列

Prüfer 是这样建立的：每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点．重复 𝑛 −2n−2 次后就只剩下两个结点，算法结束．

显然使用堆可以做到 𝑂(𝑛log⁡𝑛)O(nlog⁡n) 的复杂度

实现

C++Python

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例如，这是一棵 7 个结点的树的 Prüfer 序列构建过程：

Prüfer

最终的序列就是 2,2,3,3,22,2,3,3,2．

当然，也有一个线性的构造算法．

Prüfer 序列的线性构造算法

线性构造的本质就是维护一个指针指向我们将要删除的结点．首先发现，叶结点数是非严格单调递减的，删去一个叶结点，叶结点总数要么不变要么减 1．

于是我们考虑这样一个过程：维护一个指针 𝑝p．初始时 𝑝p 指向编号最小的叶结点．同时我们维护每个结点的度数，方便我们知道在删除结点的时侯是否产生新的叶结点．操作如下：

删除 𝑝p 指向的结点，并检查是否产生新的叶结点．
如果产生新的叶结点，假设编号为 𝑥x，我们比较 𝑝,𝑥p,x 的大小关系．如果 𝑥 >𝑝x>p，那么不做其他操作；否则就立刻删除 𝑥x，然后检查删除 𝑥x 后是否产生新的叶结点，重复 22 步骤，直到未产生新节点或者新节点的编号 >𝑝>p．
让指针 𝑝p 自增直到遇到一个未被删除叶结点为止；

正确性

循环上述操作 𝑛 −2n−2 次，就完成了序列的构造．接下来考虑算法的正确性．

𝑝p 是当前编号最小的叶结点，若删除 𝑝p 后未产生叶结点，我们就只能去寻找下一个叶结点；若产生了叶结点 𝑥x：

如果 𝑥 >𝑝x>p，则反正 𝑝p 往后扫描都会扫到它，于是不做操作；
如果 𝑥 <𝑝x<p，因为 𝑝p 原本就是编号最小的，而 𝑥x 比 𝑝p 还小，所以 𝑥x 就是当前编号最小的叶结点，优先删除．删除 𝑥x 继续这样的考虑直到没有更小的叶结点．

算法复杂度分析，发现每条边最多被访问一次（在删度数的时侯），而指针最多遍历每个结点一次，因此复杂度是 𝑂(𝑛)O(n) 的．

实现

C++Python

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Prüfer 序列的性质

在构造完 Prüfer 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点 𝑛n．
每个结点在序列中出现的次数是其度数减 11．（没有出现的就是叶结点）

用 Prüfer 序列重建树

重建树的方法是类似的．根据 Prüfer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数．然后也可以得到编号最小的叶结点，而这个结点一定与 Prüfer 序列的第一个数所对应的点连接．然后我们同时将这两个结点的度数减一．

讲到这里也许你已经知道该怎么做了．每次我们选择一个度数为 11 的编号最小的结点，与当前枚举到的 Prüfer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度．到最后我们剩下两个度数为 11 的点，其中一个是结点 𝑛n．把它们连上．使用堆维护这个过程，在节点度数下降的过程中如果发现度数减到 11 就把这个结点添加到堆中，这样做的复杂度是 𝑂(𝑛log⁡𝑛)O(nlog⁡n) 的．

实现

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### 线性时间重建树

同线性构造 Prüfer 序列的方法．在删度数的时侯会产生新的叶结点，于是判断这个叶结点与指针 𝑝p![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) 的大小关系，如果更小就优先考虑它．

#### 实现

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通过这些过程其实可以理解，Prüfer 序列与带标号无根树建立了双射关系．

Cayley 公式 (Cayley's formula)

完全图 𝐾𝑛Kn 有 𝑛𝑛−2nn−2 棵生成树．

怎么证明？方法很多，但是用 Prüfer 序列证是很简单的．任意一个长度为 𝑛 −2n−2 的值域 [1,𝑛][1,n] 的整数序列都可以通过 Prüfer 序列双射对应一个生成树，于是方案数就是 𝑛𝑛−2nn−2．

图连通方案数

Prüfer 序列可能比你想得还强大．它能创造比凯莱公式更通用的公式．比如以下问题：

一个 𝑛n 个点 𝑚m 条边的带标号无向图有 𝑘k 个连通块．我们希望添加 𝑘 −1k−1 条边使得整个图连通．求方案数．

证明

设 𝑠𝑖si 表示第 𝑖i 个连通块内点的数量．我们考虑对 𝑘k 个连通块构造 Prüfer 序列．由于两个连通块之间的连接方法很多，这并不是普通的 Prüfer 序列．于是不妨假设 𝑑𝑖di 为第 𝑖i 个连通块的度数．由于度数之和是边数的两倍，于是 ∑𝑘𝑖=1𝑑𝑖 =2𝑘 −2∑i=1kdi=2k−2．则对于给定的 𝑑d 序列构造 Prüfer 序列的方案数是

(𝑘−2𝑑1−1,𝑑2−1,⋯,𝑑𝑘−1)=(𝑘−2)!(𝑑1−1)!(𝑑2−1)!⋯(𝑑𝑘−1)!(k−2d1−1,d2−1,⋯,dk−1)=(k−2)!(d1−1)!(d2−1)!⋯(dk−1)!

对于第 𝑖i 个连通块，它的连接方式有 𝑠𝑖𝑑𝑖sidi 种，因此对于给定 𝑑d 序列使图连通的方案数是

(𝑘−2𝑑1−1,𝑑2−1,⋯,𝑑𝑘−1)⋅𝑘∏𝑖=1𝑠𝑖𝑑𝑖(k−2d1−1,d2−1,⋯,dk−1)⋅∏i=1ksidi

现在我们要枚举 𝑑d 序列，式子变成

∑𝑑𝑖≥1，∑𝑘𝑖=1𝑑𝑖=2𝑘−2(𝑘−2𝑑1−1,𝑑2−1,⋯,𝑑𝑘−1)⋅𝑘∏𝑖=1𝑠𝑖𝑑𝑖∑di≥1，∑i=1kdi=2k−2(k−2d1−1,d2−1,⋯,dk−1)⋅∏i=1ksidi

好的这是一个非常不喜闻乐见的式子．但是别慌！我们有多元二项式定理：

(𝑥1+⋯+𝑥𝑚)𝑝=∑𝑐𝑖≥0, ∑𝑚𝑖=1𝑐𝑖=𝑝(𝑝𝑐1,𝑐2,⋯,𝑐𝑚)⋅𝑚∏𝑖=1𝑥𝑖𝑐𝑖(x1+⋯+xm)p=∑ci≥0, ∑i=1mci=p(pc1,c2,⋯,cm)⋅∏i=1mxici

那么我们对原式做一下换元，设 𝑒𝑖 =𝑑𝑖 −1ei=di−1，显然 ∑𝑘𝑖=1𝑒𝑖 =𝑘 −2∑i=1kei=k−2，于是原式变成

∑𝑒𝑖≥0，∑𝑘𝑖=1𝑒𝑖=𝑘−2(𝑘−2𝑒1,𝑒2,⋯,𝑒𝑘)⋅𝑘∏𝑖=1𝑠𝑖𝑒𝑖+1∑ei≥0，∑i=1kei=k−2(k−2e1,e2,⋯,ek)⋅∏i=1ksiei+1

化简得到

(𝑠1+𝑠2+⋯+𝑠𝑘)𝑘−2⋅𝑘∏𝑖=1𝑠𝑖(s1+s2+⋯+sk)k−2⋅∏i=1ksi

即

𝑛𝑘−2⋅𝑘∏𝑖=1𝑠𝑖nk−2⋅∏i=1ksi

为答案．

习题

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