网络流简介
本页面主要介绍网络流相关的基本知识．
概述
网络（network）是指一个特殊的有向图 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E)
，其与一般有向图的不同之处在于有容量和源汇点．
- 𝐸E 中的每条边 (𝑢,𝑣)(u,v) 都有一个被称为容量（capacity）的权值，记作 𝑐(𝑢,𝑣)c(u,v)．当 (𝑢,𝑣) ∉𝐸(u,v)∉E 时，可以假定 𝑐(𝑢,𝑣) =0c(u,v)=0．
- 𝑉V 中有两个特殊的点：源点（source）𝑠s 和汇点（sink）𝑡t（𝑠 ≠𝑡s≠t）．
对于网络 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E)，流（flow）是一个从边集 𝐸E 到整数集或实数集的函数，其满足以下性质．
- 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即 0 ≤𝑓(𝑢,𝑣) ≤𝑐(𝑢,𝑣)0≤f(u,v)≤c(u,v)；
- 流守恒性：除源汇点外，任意结点 𝑢u 的净流量为 00．其中，我们定义 𝑢u 的净流量为 𝑓(𝑢) =∑𝑥∈𝑉𝑓(𝑢,𝑥) −∑𝑥∈𝑉𝑓(𝑥,𝑢)f(u)=∑x∈Vf(u,x)−∑x∈Vf(x,u)．
对于网络 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E) 和其上的流 𝑓f，我们定义 𝑓f 的流量 |𝑓||f| 为 𝑠s 的净流量 𝑓(𝑠)f(s)．作为流守恒性的推论，这也等于 𝑡t 的净流量的相反数 −𝑓(𝑡)−f(t)．
对于网络 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E)，如果 {𝑆,𝑇}{S,T} 是 𝑉V 的划分（即 𝑆 ∪𝑇 =𝑉S∪T=V 且 𝑆 ∩𝑇 =∅S∩T=∅），且满足 𝑠 ∈𝑆,𝑡 ∈𝑇s∈S,t∈T，则我们称 {𝑆,𝑇}{S,T} 是 𝐺G 的一个 𝑠s-𝑡t 割（cut）．我们定义 𝑠s-𝑡t 割 {𝑆,𝑇}{S,T} 的容量为 ||𝑆,𝑇|| =∑𝑢∈𝑆∑𝑣∈𝑇𝑐(𝑢,𝑣)||S,T||=∑u∈S∑v∈Tc(u,v)．
常见问题
常见的网络流问题包括但不限于以下类型问题．
- 最大流问题：对于网络 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E)，给每条边指定流量，得到合适的流 𝑓f，使得 𝑓f 的流量尽可能大．此时我们称 𝑓f 是 𝐺G 的最大流．
- 最小割问题：对于网络 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E)，找到合适的 𝑠s-𝑡t 割 {𝑆,𝑇}{S,T}，使得 {𝑆,𝑇}{S,T} 的总容量尽可能小．此时我们称 {𝑆,𝑇}{S,T} 的总容量是 𝐺G 的最小割．
- 最小费用最大流问题：在网络 𝐺 =(𝑉,𝐸)G=(V,E) 上，对每条边给定一个权值 𝑤(𝑢,𝑣)w(u,v)，称为费用（cost），含义是单位流量通过 (𝑢,𝑣)(u,v) 所花费的代价．对于 𝐺G 所有可能的最大流，我们称其中总费用最小的一者为最小费用最大流．
我们将在稍后的章节中对它们进行详细介绍．
例题：网络流 24 题
网络流 24 题是中文互联网上广泛流传的一个题单（LibreOJ/洛谷），至少在 2010 年前后就已经存在．该题单引入了一些经典的将其他问题建模为网络流问题的技巧．由于时代的局限性，这些问题未必是最具代表性的网络流问题，但仍值得有志于算法竞赛的读者一阅．
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