Splay 树
本页面将简要介绍如何用 Splay 维护二叉查找树．
定义
Splay 树 ，或 伸展树 ，是一种平衡二叉查找树，它通过 伸展（splay）操作 不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，能够在均摊 𝑂(log𝑁)O(logN)
时间内完成插入、查找和删除操作，并且保持平衡而不至于退化为链．
Splay 树由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 于 1985 年发明．
基本结构与操作
本节讨论 Splay 树的基本结构和它的核心操作，其中最为重要的是伸展操作．
Splay 树是一棵二叉查找树，查找某个值时满足性质：左子树任意节点的值 << 根节点的值 << 右子树任意节点的值．
维护信息
本文使用数组模拟指针来实现 Splay 树，需要维护如下信息：
| rt | id | fa[i] | ch[i][0/1] | val[i] | cnt[i] | sz[i] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 根节点编号 | 已使用节点个数 | 父亲 | 左右儿子编号 | 节点权值 | 权值出现次数 | 子树大小 |
初始化时，所有信息都置零即可．
辅助操作
首先是一些简单的辅助操作：
dir(x)：判断节点 𝑥x 是父亲节点的左儿子还是右儿子；push_up(x)：在改变节点位置后，根据子节点信息更新节点 𝑥x 的信息．
实现
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### 旋转操作
为了使 Splay 保持平衡，需要进行旋转操作．旋转的作用是将某个节点上移一个位置．
旋转需要保证：
* 整棵 Splay 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）；
* 受影响的节点维护的信息依然正确有效；
* `rt` 必须指向旋转后的根节点．
在 Splay 中旋转分为两种：左旋和右旋．
观察图示可知，如果要通过旋转将节点 𝑥x（左旋时的 11 和右旋时的 22）上移，则旋转的方向由该节点是其父节点的左节点还是右节点唯一确定．因此，实现旋转操作时，只需要将要上移的节点 𝑥x 传入即可．
具体分析旋转步骤：（假设需要上移的节点为 𝑥x，以右旋为例）
1. 首先，记录节点 𝑥x 的父节点 𝑦y，以及 𝑦y 的父节点 𝑧z（可能为空），并记录 𝑥x 是 𝑦y 的左子节点还是右子节点；
2. 按照旋转后的树中自下向上的顺序，依次更新 𝑦y 的左子节点为 𝑥x 的右子节点，𝑥x 的右子节点为 𝑦y，以及若 𝑧z 非空，𝑧z 的子节点为 𝑥x；
3. 按照同样的顺序，依次更新当前 𝑦y 的左子节点（若存在）的父节点为 𝑦y，𝑦y 的父节点为 𝑥x，以及 𝑥x 的父节点为 𝑧z；
4. 自下而上维护节点信息．
实现
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在所有函数的实现时，都应注意不要修改节点 00 的信息．
伸展操作
Splay 树要求每访问一个节点 𝑥x 后都要强制将其旋转到根节点．该操作也称为伸展操作．
设刚访问的节点为 𝑥x．要做伸展操作，就是要对 𝑥x 做一系列的 伸展步骤 ．每次对 𝑥x 做一次伸展步骤，𝑥x 到根节点的距离都会更近．定义 𝑝p 为 𝑥x 的父节点．伸展步骤有三种：
- zig : 在 𝑝p 是根节点时操作．Splay 树会根据 𝑥x 和 𝑝p 间的边旋转．zig 存在是用于处理奇偶校验问题，仅当 𝑥x 在伸展操作开始时具有奇数深度时作为伸展操作的最后一步执行．
即直接将 𝑥x 右旋或左旋（图 1, 2）．
- zig-zig : 在 𝑝p 不是根节点且 𝑥x 和 𝑝p 都是右侧子节点或都是左侧子节点时操作．下方例图显示了 𝑥x 和 𝑝p 都是左侧子节点时的情况．Splay 树首先按照连接 𝑝p 与其父节点 𝑔g 边旋转，然后按照连接 𝑥x 和 𝑝p 的边旋转．
即首先将 𝑝p 右旋或左旋，然后将 𝑥x 右旋或左旋（图 3, 4）．
- zig-zag : 在 𝑝p 不是根节点且 𝑥x 和 𝑝p 一个是右侧子节点一个是左侧子节点时操作．Splay 树首先按 𝑝p 和 𝑥x 之间的边旋转，然后按 𝑥x 和 𝑔g 新生成的结果边旋转．
即将 𝑥x 先左旋再右旋或先右旋再左旋（图 5, 6）．
Tip
请读者尝试自行模拟 66 种旋转情况，以理解伸展操作的基本思想．
比较三种伸展步骤可知，要区分此时应使用哪种操作，关键是要判断 𝑥x 是否是根节点的子节点，以及 𝑥x 和它父节点是否在各自的父节点同侧．
此处提供的实现，可以指定任意根节点 𝑧z，并将它的子树内任意节点 𝑥x 上移至 𝑧z 处：
- 首先记录根节点 𝑧z 的父节点 𝑤w，从而可以利用
fa[x] == w判断 𝑥x 已经位于根结点处； - 记录 𝑥x 当前的父节点 𝑦y，如果 𝑦y 和 𝑤w 相同，说明 𝑥x 已经到达根节点；
- 否则，利用
fa[y] == w判断 𝑦y 是否是根节点．如果是，直接做 zig 操作将 𝑥x 旋转；如果不是，利用 dir(x) == dir(y)判断使用 zig-zig 还是 zig-zag，前者先旋转 𝑦y 再旋转 𝑥x，后者直接旋转两次 𝑥x．
实现
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伸展操作是 Splay 树的核心操作，也是它的时间复杂度能够得到保证的关键步骤．请务必保证每次向下访问节点后，都进行一次伸展操作．
另外，伸展操作会将当前节点 𝑥x 到根节点 𝑧z 的路径上的所有节点信息自下而上地更新一遍．正是因为这一点，才可以修改非根节点，再通过伸展操作将它上移至根来完成整个树的信息更新．
### 时间复杂度
对大小为 𝑛n 的 Splay 树做 𝑚m 次伸展操作的复杂度是 𝑂((𝑛 +𝑚)log𝑛)O((n+m)logn) 的，单次均摊复杂度是 𝑂(log𝑛)O(logn) 的．
基于势能分析的复杂度证明
为此只需分析 **zig** 、**zig-zig** 和 **zig-zag** 三种操作的复杂度．为此，我们采用 **势能分析法** ，通过研究势能的变化来推导操作的均摊复杂度．假设对一棵包含 𝑛n 个节点的 Splay 树进行了 𝑚m 次伸展操作，可以通过如下方式进行分析：
**定义** ：
1. **单个节点的势能** ：𝑤(𝑥) =log(size(𝑥))w(x)=log(size(x))，其中 size(𝑥)size(x) 表示以节点 𝑥x 为根的子树大小．
2. **整棵树的势能** ：𝜑 =∑𝑤(𝑥)φ=∑w(x)，即树中所有节点势能的总和，初始势能满足 𝜑0 ≤𝑛log𝑛φ0≤nlogn．
3. **第 𝑖i 次操作的均摊成本**：𝑐𝑖 =𝑡𝑖 +𝜑𝑖 −𝜑𝑖−1ci=ti+φi−φi−1，其中 𝑡𝑖ti 为实际操作代价，𝜑𝑖φi 和 𝜑𝑖−1φi−1 分别为操作后和操作前的势能．
**性质** ：
1. 如果 𝑝p 是 𝑥x 的父节点，则有 𝑤(𝑝) ≥𝑤(𝑥)w(p)≥w(x)，即父节点的势能不小于子节点的势能．
2. 由于根节点的子树大小在操作前后保持不变，因此根节点的势能在操作过程中不变．
3. 如果 size(𝑝) ≥size(𝑥) +size(𝑦)size(p)≥size(x)+size(y)，那么有 2𝑤(𝑝) −𝑤(𝑥) −𝑤(𝑦) ≥22w(p)−w(x)−w(y)≥2．
性质 3 的证明
根据均值不等式可知
2𝑤(𝑝)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑦)=logsize(𝑝)2size(𝑥)⋅size(𝑦)>log(size(𝑥)+size(𝑦))2size(𝑥)⋅size(𝑦)≥log4=2.2w(p)−w(x)−w(y)=logsize(p)2size(x)⋅size(y)>log(size(x)+size(y))2size(x)⋅size(y)≥log4=2.
接下来，分别对 **zig** 、**zig-zig** 和 **zig-zag** 操作进行势能分析．设操作前后的节点 𝑥x 的势能分别是 𝑤(𝑥)w(x) 和 𝑤′(𝑥)w′(x)．节点的记号与 上文 一致．
**zig** ：根据性质 1 和 2，有 𝑤(𝑝) =𝑤′(𝑥)w(p)=w′(x)，且 𝑤′(𝑥) ≥𝑤′(𝑝)w′(x)≥w′(p)．由此，均摊成本为
𝑐𝑖=1+𝑤′(𝑥)+𝑤′(𝑝)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)=1+𝑤′(𝑝)−𝑤(𝑥)≤1+𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥).ci=1+w′(x)+w′(p)−w(x)−w(p)=1+w′(p)−w(x)≤1+w′(x)−w(x).
**zig-zig** ：根据性质 1 和 2，有 𝑤(𝑔) =𝑤′(𝑥)w(g)=w′(x)，且 𝑤′(𝑥) ≥𝑤′(𝑝)w′(x)≥w′(p)，𝑤(𝑥) ≤𝑤(𝑝)w(x)≤w(p)．因为
size′(𝑥)=3+size(𝐴)+size(𝐵)+size(𝐶)+size(𝐷)>(1+size(𝐴)+size(𝐵))+(1+size(𝐶)+size(𝐷))=size(𝑥)+size′(𝑔),size′(x)=3+size(A)+size(B)+size(C)+size(D)>(1+size(A)+size(B))+(1+size(C)+size(D))=size(x)+size′(g),
根据性质 3 可得
2𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥)−𝑤′(𝑔)≥2.2w′(x)−w(x)−w′(g)≥2.
由此，均摊成本为
𝑐𝑖=2+𝑤′(𝑥)+𝑤′(𝑝)+𝑤′(𝑔)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)−𝑤(𝑔)=2+𝑤′(𝑝)+𝑤′(𝑔)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)≤(2𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥)−𝑤′(𝑔))+𝑤′(𝑝)+𝑤′(𝑔)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)=2(𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥))+𝑤′(𝑝)−𝑤(𝑝)≤3(𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥)).ci=2+w′(x)+w′(p)+w′(g)−w(x)−w(p)−w(g)=2+w′(p)+w′(g)−w(x)−w(p)≤(2w′(x)−w(x)−w′(g))+w′(p)+w′(g)−w(x)−w(p)=2(w′(x)−w(x))+w′(p)−w(p)≤3(w′(x)−w(x)).
**zig-zag** ：根据性质 1 和 2，有 𝑤(𝑔) =𝑤′(𝑥)w(g)=w′(x)，且 𝑤(𝑝) ≥𝑤(𝑥)w(p)≥w(x)．因为 size′(𝑥) >size′(𝑝) +size′(𝑔)size′(x)>size′(p)+size′(g)，根据性质 3，可得
2⋅𝑤′(𝑥)−𝑤′(𝑔)−𝑤′(𝑝)≥2.2⋅w′(x)−w′(g)−w′(p)≥2.
由此，均摊成本为
𝑐𝑖=2+𝑤′(𝑥)+𝑤′(𝑝)+𝑤′(𝑔)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)−𝑤(𝑔)=2+𝑤′(𝑝)+𝑤′(𝑔)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)≤(2𝑤′(𝑥)−𝑤′(𝑔)−𝑤′(𝑝))+𝑤′(𝑝)+𝑤′(𝑔)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)=2𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥)−𝑤(𝑝)≤2(𝑤′(𝑥)−𝑤(𝑥)).ci=2+w′(x)+w′(p)+w′(g)−w(x)−w(p)−w(g)=2+w′(p)+w′(g)−w(x)−w(p)≤(2w′(x)−w′(g)−w′(p))+w′(p)+w′(g)−w(x)−w(p)=2w′(x)−w(x)−w(p)≤2(w′(x)−w(x)).
**单次伸展操作** ：
令 𝑤(𝑛)(𝑥) =(𝑤(𝑛−1))′(𝑥)w(n)(x)=(w(n−1))′(x) 且 𝑤(0)(𝑥) =𝑤(𝑥)w(0)(x)=w(x)．假设一次伸展操作依次访问了 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛x1,x2,⋯,xn 等节点，最终 𝑥1x1 成为根节点．这必然经过若干次 **zig-zig** 和 **zig-zag** 操作和至多一次 **zig** 操作，前两种操作的均摊成本均不超过 3(𝑤′(𝑥) −𝑤(𝑥))3(w′(x)−w(x))，而最后一次操作的均摊成本不超过 3(𝑤′(𝑥) −𝑤(𝑥)) +13(w′(x)−w(x))+1，所以总的均摊成本不超过
3(𝑤(𝑛)(𝑥1)−𝑤(0)(𝑥1))+1≤3log𝑛+1.3(w(n)(x1)−w(0)(x1))+1≤3logn+1.
因此，一次伸展操作的均摊复杂度是 𝑂(log𝑛)O(logn) 的．从而，基于伸展的插入、查询、删除等操作的时间复杂度也为均摊 𝑂(log𝑛)O(logn)．
**结论** ：
在进行 𝑚m 次伸展操作之后，实际成本
𝑚∑𝑖=1𝑡𝑖=𝑚∑𝑖=1(𝑐𝑖+𝜑𝑖−1−𝜑𝑖)=𝑚∑𝑖=1𝑐𝑖+𝜑0−𝜑𝑚≤𝑚(3log𝑛+1)+𝑛log𝑛.∑i=1mti=∑i=1m(ci+φi−1−φi)=∑i=1mci+φ0−φm≤m(3logn+1)+nlogn.
因此，𝑚m 次伸展操作的实际时间复杂度为 𝑂((𝑚 +𝑛)log𝑛)O((m+n)logn)．
为什么 Splay 树的再平衡操作可以获得 𝑂(log𝑛)O(logn) 的均摊复杂度？
朴素的再平衡思路就是对节点反复进行旋转操作使其上升，直到它成为根节点．这种朴素思路的问题在于，对于所有子节点都是左（右）节点的链状树来说，它相当于反复进行 **zig** 操作，因而 **zig** 操作的均摊复杂度中的常数项 11 会不断累积，造成最终的均摊复杂度达到 𝑂(log𝑛 +𝑛)O(logn+n) 级别．Splay 树的再平衡操作的设计，避免了连续 **zig** 的情形中的常数累积，使得一次完整的伸展操作中，至多进行一次单独的 **zig** 操作，从而优化了时间复杂度．
## 平衡树操作
本节讨论基于 Splay 树实现平衡树的常见操作的方法．其中，较为重要的是按照值或排名查找元素，它们可以将某个特定的元素找到，并上移至根节点处，以便后续处理．
作为例子，本节将讨论模板题目 [普通平衡树](https://loj.ac/problem/104) 的实现．
### 按照值查找
作为二叉查找树，可以通过值 𝑣v 查找到相应的节点，只需要将待查找的值 𝑣v 和当前节点的值比较即可，找到后将该元素上移至根部即可．
应注意，经常存在树中不存在相应的节点的情形．对于这种情形，要记录最后一个访问的节点（即实现中的 𝑦y），并将 𝑦y 上移至根部．此时，节点 𝑦y 存储的值必然要么是所有小于 𝑣v 的元素中最大的（即 𝑣v 的前驱），要么是所有大于 𝑣v 的元素中最小的（即 𝑣v 的后继）．这是因为查找过程保证，左子树总是存储小于 𝑣v 的值，而右子树总是存储大于 𝑣v 的值．
实现
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该实现允许指定任何节点 𝑧z 作为根节点，并在它的子树内按值查找．
按照排名访问
因为记录了子树大小信息，所以 Splay 树还可以通过排名访问元素，即查找树中第 𝑘k 小的元素．
设 𝑘k 为剩余排名，具体步骤如下：
- 如果左子树非空且剩余排名 𝑘k 不大于左子树的大小，那么向左子树查找；
- 否则，如果 𝑘k 不大于左子树加上根的大小，那么根节点就是要寻找的；
- 否则，将 𝑘k 减去左子树的和根的大小，继续向右子树查找；
- 将最终找到的元素上移至根部．
实现
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该实现需要保证排名 𝑘k 不超过根 𝑧z 处的树大小．
模板题目中操作 44 要求按照排名返回值，直接调用该方法，并返回值即可．
实现
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合并操作
有些时候需要合并两棵 Splay 树．
设两棵树的根节点分别为 𝑥x 和 𝑦y，那么为了保证结果仍是二叉查找树，需要要求 𝑥x 树中的最大值小于 𝑦y 树中的最小值．这条件通常都可以满足，因为两棵树往往是从更大的子树中分裂出的．
合并操作如下：
- 如果 𝑥x 和 𝑦y 其中之一或两者都为空树，直接返回不为空的那一棵树的根节点或空树；
- 否则，通过
loc(y, 1)将 𝑦y 树中的最小值上移至根 𝑦y 处，再将它的左节点（此时必然为空）设置为 𝑥x，并更新节点信息，返回节点 𝑦y．
实现
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分裂操作类似．因而，Splay 树可以模拟 [无旋 treap](../treap/#无旋-treap) 的思路做各种操作，包括区间操作．后文 会介绍更具有 Splay 树风格的区间操作处理方法．
### 插入操作
插入操作是一个比较复杂的过程．具体步骤如下：（假设插入的值为 𝑣v）
* 类似按值查找的过程，根据 𝑣v 向下查找到存储 𝑣v 的节点或者空节点，过程中记录父节点 𝑦y；
* 如果存在存储 𝑣v 的节点 𝑥x，直接更新信息，否则就新建节点 𝑥x；
* 做伸展操作，将最后一个节点 𝑥x 上移至根部．
实现
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该实现允许直接向空树内插入值．若不想处理空树，可以在树中提前插入哑节点．
删除操作
删除操作也是一个比较复杂的操作．具体步骤如下：（假设删除的值为 𝑣v）
- 首先按照值 𝑣v 查找存储它的节点，并上移至根部；
- 如果不存在存储它的节点，直接返回；（上一步已经做了伸展操作）
- 否则，更新节点信息；
- 如果得到的根节点为空节点，就合并左右子树作为新的根节点，注意合并前需要更新两个子树的根的父节点为空．
实现
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### 查询排名
直接按照值 𝑣v 访问节点（并上移至根），然后返回相应的值即可．
注意，当 𝑣v 不存在时，方法 `find(rt, v)` 返回的根和 𝑣v 的大小关系无法确定，需要单独讨论．
实现
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查询前驱
前驱定义为小于 𝑣v 的最大的数．具体步骤如下：
- 按照值 𝑣v 访问节点（并上移至根部）；
- 如果根部的值小于 𝑣v，那么它必然是最大的那个，直接返回；
- 否则，在左子树中找到最大值，并上移至根部．
最后一步相当于直接调用 loc(ch[rt][0], sz[ch[rt][0]])，只是省去了不必要的判断．
实现
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该实现允许前驱不存在，此时返回 −1−1．
### 查询后继
后继定义为大于 𝑥x 的最小的数．查询方法和前驱类似，只是将左子树的最大值换成了右子树的最小值，即调用 `loc(ch[rt][1], 1)`．
实现
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参考实现
本节的最后，给出模板题目 普通平衡树 的参考实现．
参考实现
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## 序列操作
Splay 树也可以运用在序列上，用于维护区间信息．与线段树对比，Splay 树常数较大，但是支持更复杂的序列操作，如区间翻转等．上文提到 Splay 树同样支持分裂和合并操作，因而可以模拟 [无旋 treap](../treap/#无旋-treap) 进行区间操作，在此不再过多讨论．本节主要讨论基于伸展操作的区间操作实现方法．
将序列建成的 Splay 树有如下性质：
* Splay 树的中序遍历相当于原序列从左到右的遍历；
* Splay 树上的一个节点代表原序列的一个元素；
* Splay 树上的一颗子树，代表原序列的一段区间．
因为有伸展操作，可以快速提取出代表某个区间的 Splay 子树．
作为例子，本节将讨论模板题目 [文艺平衡树](https://loj.ac/problem/105) 的实现．
### 根据序列建树
在操作之前，需要根据所给的序列先把 Splay 树建出来．根据 Splay 树的特性，直接建出一颗只有左儿子的链即可．时间复杂度是 𝑂(𝑛)O(n) 的．
参考实现
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最后的伸展操作自下而上地更新了节点信息．为了后文区间操作方便，序列左右两侧添加了两个哨兵节点．
区间翻转
以区间翻转为例，可以理解区间操作的方法：（设区间为 [𝐿,𝑅][L,R]）
- 首先将节点 𝐿 −1L−1 上移到根节点，再在其右子树中，将节点 𝑅 +1R+1 上移到右子树的根节点；
- 此时，设 𝑥x 为根节点的右子节点的左子节点，则以 𝑥x 为根的子树就对应着区间 [𝐿,𝑅][L,R]；
- 在 𝑥x 处对区间 [𝐿,𝑅][L,R] 做操作，并打上懒标记；
- 在 𝑥x 处将标记下传一次，然后利用伸展操作将 𝑥x 上移到根．
第一步需要的操作就是前文平衡树操作中的「按照排名访问」，因为元素的标号就是它的排名．因为涉及懒标记的管理，它的实现与上文略有不同．
参考实现
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最后一步的伸展操作并非为了保证复杂度正确，而是为了更新节点信息．因为伸展操作涉及到节点 𝑥x 的左右子节点，所以之前需要将节点 𝑥x 处的标记先下传一次．当然，仅对于区间翻转操作而言，子区间的翻转不会对祖先节点产生影响，所以省去这一步骤也是正确的．此处实现保留这两行，是为了说明一般的情形下的操作方法．
### 懒标记管理
首先，需要辅助函数 `lazy_reverse(x)` 和 `push_down(x)`．前者交换左右节点，并更新懒标记；后者将标记下传．
参考实现
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然后，只需要在向下经过节点时下传标记即可．模板题要求的操作比较简单，只有按照排名寻找的操作（即 loc）涉及向下访问节点．注意，需要在函数每次访问一个新的节点 前 下传标记．
参考实现
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因为向下访问节点时已经移除了经过的路径的所有懒标记，所以利用伸展操作上移节点时不再需要处理懒标记．但是，对于区间操作的那一个节点要谨慎处理：因为它同样位于伸展操作的路径上，但是刚刚操作完，可能存在尚未下传的标记，需要首先下传再做伸展操作，正如同上文所做的那样．
### 参考实现
本节的最后，给出模板题目 [文艺平衡树](https://loj.ac/problem/105) 的参考实现．
参考实现
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习题
这些题目都是裸的 Splay 树维护二叉查找树：
Splay 树还出现在更复杂的应用场景中：
- 「Cerc2007」robotic sort 机械排序
- 「HNOI2011」括号修复/「JSOI2011」括号序列
- 二逼平衡树（树套树）
- BZOJ 2827 千山鸟飞绝
- 「Lydsy1706 月赛」K 小值查询
- POJ3580 SuperMemo
参考资料与注释
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