哈希表
引入
哈希表又称散列表，一种以「key-value」形式存储数据的数据结构．所谓以「key-value」形式存储数据，是指任意的键值 key 都唯一对应到内存中的某个位置．只需要输入查找的键值，就可以快速地找到其对应的 value．可以把哈希表理解为一种高级的数组，这种数组的下标可以是很大的整数，浮点数，字符串甚至结构体．
哈希函数
要让键值对应到内存中的位置，就要为键值计算索引，也就是计算这个数据应该放到哪里．这个根据键值计算索引的函数就叫做哈希函数，也称散列函数．举个例子，如果键值是一个人的身份证号码，哈希函数就可以是号码的后四位，当然也可以是号码的前四位．生活中常用的「手机尾号」也是一种哈希函数．在实际的应用中，键值可能是更复杂的东西，比如浮点数、字符串、结构体等，这时候就要根据具体情况设计合适的哈希函数．哈希函数应当易于计算，并且尽量使计算出来的索引均匀分布．
能为 key 计算索引之后，我们就可以知道每个键值对应的值 value 应该放在哪里了．假设我们用数组 a 存放数据，哈希函数是 f，那键值对 (key, value) 就应该放在 a[f(key)] 上．不论键值是什么类型，范围有多大，f(key) 都是在可接受范围内的整数，可以作为数组的下标．
在 OI 中，最常见的情况应该是键值为整数的情况．当键值的范围比较小的时候，可以直接把键值作为数组的下标，但当键值的范围比较大，比如以 109109
范围内的整数作为键值的时候，就需要用到哈希表．一般把键值模一个较大的质数作为索引，也就是取 𝑓(𝑥) =𝑥mod𝑀f(x)=xmodM 作为哈希函数．
另一种比较常见的情况是 key 为字符串的情况，由于不支持以字符串作为数组下标，并且将字符串转化成数字存储也可以避免多次进行字符串比较．所以在 OI 中，一般不直接把字符串作为键值，而是先算出字符串的哈希值，再把其哈希值作为键值插入到哈希表里．关于字符串的哈希值，我们一般采用进制的思想，将字符串想象成一个 127127 进制的数．那么，对于每一个长度为 𝑛n 的字符串 𝑠s，就有：
𝑥 =𝑠0 ⋅1270 +𝑠1 ⋅1271 +𝑠2 ⋅1272 +⋯ +𝑠𝑛 ⋅127𝑛x=s0⋅1270+s1⋅1271+s2⋅1272+⋯+sn⋅127n
我们可以将得到的 𝑥x 对 264264（即 unsigned long long 的最大值）取模．这样 unsigned long long 的自然溢出就等价于取模操作了．可以使操作更加方便．
这种方法虽然简单，但并不是完美的．可以构造数据使这种方法发生冲突（即两个字符串的 𝑥x 对 264264 取模后的结果相同）． 我们可以使用双哈希的方法：选取两个大质数 𝑎,𝑏a,b．当且仅当两个字符串的哈希值对 𝑎a 和对 𝑏b 取模都相等时，我们才认为这两个字符串相等．这样可以大大降低哈希冲突的概率．
冲突
如果对于任意的键值，哈希函数计算出来的索引都不相同，那只用根据索引把 (key, value) 放到对应的位置就行了．但实际上，常常会出现两个不同的键值，他们用哈希函数计算出来的索引是相同的．这时候就需要一些方法来处理冲突．在 OI 中，最常用的方法是拉链法．
拉链法
拉链法也称开散列法（open hashing）．
拉链法是在每个存放数据的地方开一个链表，如果有多个键值索引到同一个地方，只用把他们都放到那个位置的链表里就行了．查询的时候需要把对应位置的链表整个扫一遍，对其中的每个数据比较其键值与查询的键值是否一致．如果索引的范围是 1…𝑀1…M，哈希表的大小为 𝑁N，那么一次插入/查询需要进行期望 𝑂(𝑁𝑀)O(NM) 次比较．
实现
C++Python
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这里再提供一个封装过的模板，可以像 map 一样用，并且较短
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在这里，hash 函数是针对键值的类型设计的，并且返回一个链表头指针用于查询．在这个模板中我们写了一个键值对类型为 `(long long, int)` 的 hash 表，并且在查询不存在的键值时返回 -1．函数 `hash_map()` 用于在定义时初始化．
### 闭散列法
闭散列方法把所有记录直接存储在散列表中，如果发生冲突则根据某种方式继续进行探查．
比如线性探查法：如果在 `d` 处发生冲突，就依次检查 `d + 1`，`d + 2`……
#### 实现
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例题
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