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堆简介

堆是一棵树，其每个节点都有一个键值，且每个节点的键值都大于等于/小于等于其父亲的键值．

每个节点的键值都大于等于其父亲键值的堆叫做小根堆，否则叫做大根堆．STL 中的 priority_queue 其实就是一个大根堆．

（小根）堆主要支持的操作有：插入一个数、查询最小值、删除最小值、合并两个堆、减小一个元素的值．

一些功能强大的堆（可并堆）还能（高效地）支持 merge 等操作．

一些功能更强大的堆还支持可持久化，也就是对任意历史版本进行查询或者操作，产生新的版本．

堆的分类

操作 `\` 数据结构1	配对堆	二叉堆	左偏树	二项堆	斐波那契堆
插入（insert）	𝑂(1)O(1)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)2	𝑂(1)O(1)
查询最小值（find-min）	𝑂(1)O(1)	𝑂(1)O(1)	𝑂(1)O(1)	𝑂(1)O(1)34	𝑂(1)O(1)
删除最小值（delete-min）	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)4	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)4
合并 (merge)	𝑂(1)O(1)	𝑂(𝑛)O(n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(1)O(1)
减小一个元素的值 (decrease-key)	𝑜(log⁡𝑛)o(log⁡n)（下界 Ω(log⁡log⁡𝑛)Ω(log⁡log⁡n)，上界 𝑂(22√log⁡log⁡𝑛)O(22log⁡log⁡n)）4	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)	𝑂(1)O(1)4
是否支持可持久化	××	✓✓	✓✓	✓✓	××

习惯上，不加限定提到「堆」时往往都指二叉堆．

表格来自于 Wikipedia ↩

单次插入的复杂度为 𝑂(log⁡𝑛)O(log⁡n)，但有 𝑘k 次连续插入时，可创建一个只包含要插入元素的二项堆，再将此堆与原先的二项堆进行合并，均摊复杂度为 𝑂(1)O(1) ↩

可以保存一个指向最小元素的指针，在执行其他操作时修改该指针，即可在 𝑂(1)O(1) 的复杂度下进行查询了 ↩

复杂度为均摊复杂度 ↩↩↩↩↩

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