Z 函数（扩展 KMP）

字符串 / z-func

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Z 函数（扩展 KMP）

约定：字符串下标以 00 为起点．

定义

对于一个长度为 𝑛n 的字符串 𝑠s，定义函数 𝑧[𝑖]z[i] 表示 𝑠s 和 𝑠[𝑖,𝑛 −1]s[i,n−1]（即以 𝑠[𝑖]s[i] 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度，则 𝑧z 被称为 𝑠s 的 Z 函数 ．特别地，𝑧[0] =0z[0]=0．

国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm ，而国内则称其为 扩展 KMP （exKMP）．

这篇文章介绍在 𝑂(𝑛)O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用．

解释

下面若干样例展示了对于不同字符串的 Z 函数：

  • 𝑧(𝚊𝚊𝚊𝚊𝚊) =[0,4,3,2,1]z(aaaaa)=[0,4,3,2,1]
  • 𝑧(𝚊𝚊𝚊𝚋𝚊𝚊𝚋) =[0,2,1,0,2,1,0]z(aaabaab)=[0,2,1,0,2,1,0]
  • 𝑧(𝚊𝚋𝚊𝚌𝚊𝚋𝚊) =[0,0,1,0,3,0,1]z(abacaba)=[0,0,1,0,3,0,1]

朴素算法

Z 函数的朴素算法复杂度为 𝑂(𝑛2)O(n2)：

实现

C++Python

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线性算法

如同大多数字符串主题所介绍的算法，其关键在于，运用自动机的思想寻找限制条件下的状态转移函数，使得可以借助之前的状态来加速计算新的状态．

在该算法中，我们从 11 到 𝑛 −1n−1 顺次计算 𝑧[𝑖]z[i] 的值（𝑧[0] =0z[0]=0）．在计算 𝑧[𝑖]z[i] 的过程中，我们会利用已经计算好的 𝑧[0],…,𝑧[𝑖 −1]z[0],…,z[i−1]．

对于 𝑖i，我们称区间 [𝑖,𝑖 +𝑧[𝑖] −1][i,i+z[i]−1] 是 𝑖i 的 匹配段 ，也可以叫 Z-box．

算法的过程中我们维护右端点最靠右的匹配段．为了方便，记作 [𝑙,𝑟][l,r]．根据定义，𝑠[𝑙,𝑟]s[l,r] 是 𝑠s 的前缀．在计算 𝑧[𝑖]z[i] 时我们保证 𝑙 ≤𝑖l≤i．初始时 𝑙 =𝑟 =0l=r=0．

在计算 𝑧[𝑖]z[i] 的过程中：

  • 如果 𝑖 ≤𝑟i≤r，那么根据 [𝑙,𝑟][l,r] 的定义有 𝑠[𝑖,𝑟] =𝑠[𝑖 −𝑙,𝑟 −𝑙]s[i,r]=s[i−l,r−l]，因此 𝑧[𝑖] ≥min(𝑧[𝑖 −𝑙],𝑟 −𝑖 +1)z[i]≥min(z[i−l],r−i+1)．这时：
  • 若 𝑧[𝑖 −𝑙] <𝑟 −𝑖 +1z[i−l]<r−i+1，则 𝑧[𝑖] =𝑧[𝑖 −𝑙]z[i]=z[i−l]．
  • 否则 𝑧[𝑖 −𝑙] ≥𝑟 −𝑖 +1z[i−l]≥r−i+1，这时我们令 𝑧[𝑖] =𝑟 −𝑖 +1z[i]=r−i+1，然后暴力枚举下一个字符扩展 𝑧[𝑖]z[i] 直到不能扩展为止．
  • 如果 𝑖 >𝑟i>r，那么我们直接按照朴素算法，从 𝑠[𝑖]s[i] 开始比较，暴力求出 𝑧[𝑖]z[i]．
  • 在求出 𝑧[𝑖]z[i] 后，如果 𝑖 +𝑧[𝑖] −1 >𝑟i+z[i]−1>r，我们就需要更新 [𝑙,𝑟][l,r]，即令 𝑙 =𝑖,𝑟 =𝑖 +𝑧[𝑖] −1l=i,r=i+z[i]−1．

可以访问 这个网站 来看 Z 函数的模拟过程．

实现

C++Python

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复杂度分析

对于内层 while 循环，每次执行都会使得 𝑟r 向后移至少 11 位，而 𝑟 <𝑛 −1r<n−1，所以总共只会执行 𝑛n 次．

对于外层循环，只有一遍线性遍历．

总复杂度为 𝑂(𝑛)O(n)．

应用

我们现在来考虑在若干具体情况下 Z 函数的应用．

这些应用在很大程度上同 前缀函数 的应用类似．

匹配所有子串

为了避免混淆，我们将 𝑡t 称作 文本 ，将 𝑝p 称作 模式 ．所给出的问题是：寻找在文本 𝑡t 中模式 𝑝p 的所有出现（occurrence）．

为了解决该问题，我们构造一个新的字符串 𝑠 =𝑝 + ⋄ +𝑡s=p+⋄+t，也即我们将 𝑝p 和 𝑡t 连接在一起，但是在中间放置了一个分割字符 ⋄⋄（我们将如此选取 ⋄⋄ 使得其必定不出现在 𝑝p 和 𝑡t 中）．

首先计算 𝑠s 的 Z 函数．接下来，对于在区间 [0,|𝑡| −1][0,|t|−1] 中的任意 𝑖i，我们考虑以 𝑡[𝑖]t[i] 为开头的后缀在 𝑠s 中的 Z 函数值 𝑘 =𝑧[𝑖 +|𝑝| +1]k=z[i+|p|+1]．如果 𝑘 =|𝑝|k=|p|，那么我们知道有一个 𝑝p 的出现位于 𝑡t 的第 𝑖i 个位置，否则没有 𝑝p 的出现位于 𝑡t 的第 𝑖i 个位置．

其时间复杂度（同时也是其空间复杂度）为 𝑂(|𝑡| +|𝑝|)O(|t|+|p|)．

本质不同子串数

给定一个长度为 𝑛n 的字符串 𝑠s，计算 𝑠s 的本质不同子串的数目．

考虑计算增量，即在知道当前 𝑠s 的本质不同子串数的情况下，计算出在 𝑠s 末尾添加一个字符后的本质不同子串数．

令 𝑘k 为当前 𝑠s 的本质不同子串数．我们添加一个新的字符 𝑐c 至 𝑠s 的末尾．显然，会出现一些以 𝑐c 结尾的新的子串（以 𝑐c 结尾且之前未出现过的子串）．

设串 𝑡t 是 𝑠 +𝑐s+c 的反串（反串指将原字符串的字符倒序排列形成的字符串）．我们的任务是计算有多少 𝑡t 的前缀未在 𝑡t 的其他地方出现．考虑计算 𝑡t 的 Z 函数并找到其最大值 𝑧maxzmax．则 𝑡t 的长度小于等于 𝑧maxzmax 的前缀的反串在 𝑠s 中是已经出现过的以 𝑐c 结尾的子串．

所以，将字符 𝑐c 添加至 𝑠s 后新出现的子串数目为 |𝑡| −𝑧max|t|−zmax．

算法时间复杂度为 𝑂(𝑛2)O(n2)．

值得注意的是，我们可以用同样的方法在 𝑂(𝑛)O(n) 时间内，重新计算在端点处添加一个字符或者删除一个字符（从尾或者头）后的本质不同子串数目．

字符串整周期

给定一个长度为 𝑛n 的字符串 𝑠s，找到其最短的整周期，即寻找一个最短的字符串 𝑡t，使得 𝑠s 可以被若干个 𝑡t 拼接而成的字符串表示．

考虑计算 𝑠s 的 Z 函数，则其整周期的长度为最小的 𝑛n 的因数 𝑖i，满足 𝑖 +𝑧[𝑖] =𝑛i+z[i]=n．

该事实的证明同应用 前缀函数 的证明一样．

练习题目

本页面主要译自博文Z-функция строки и её вычисление 与其英文翻译版 Z-function and its calculation．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．

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