三维计算几何基础
三维几何的很多概念与 二维几何 是相通的，我们可以用与解决二维几何问题相同的方法来解决三维几何问题．
基本概念
点，向量，直线这些概念和二维几何是相似的，这里不再展开．
平面
我们可以用平面上的一点 𝑃0(𝑥0,𝑦0,𝑧0)P0(x0,y0,z0)
和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量）𝒏n 来表示一个平面．
因为 𝒏n 垂直于平面，所以 𝒏n 垂直于该平面内的所有直线．换句话说，设 𝒏 =(𝐴,𝐵,𝐶)n=(A,B,C)，则该平面上的点 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)P(x,y,z) 都满足 𝒏 ⋅←←←←←→𝑃𝑃0 =0n⋅PP0→=0．
根据向量点积的定义，上式等价于：
𝐴(𝑥−𝑥0)+𝐵(𝑦−𝑦0)+𝐶(𝑧−𝑧0)=0A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
整理后得到：
𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧−(𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝑧0)=0Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0)=0
令 𝐷 = −(𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 +𝐶𝑧0)D=−(Ax0+By0+Cz0)，则上式变成 𝐴𝑥 +𝐵𝑦 +𝐶𝑧 +𝐷 =0Ax+By+Cz+D=0．我们称这个式子为平面的 一般式 ．
基本操作
直线、平面之间的夹角
运用空间向量的知识，空间中直线、平面之间的夹角可以很快求出．
对于两条异面直线 𝑎a，𝑏b，过空间中一点 𝑃P，作 𝑎′ ∥𝑎a′∥a，𝑏′ ∥𝑏′b′∥b′，则 𝑎′a′ 与 𝑏′b′ 所成的锐角或直角被称为 𝑎a 和 𝑏b 两条 异面直线所成的角 ．
对于直线 𝑎a 和平面 𝛼α，若 𝑎a 与 𝛼α 相交于 𝐴A，过 𝑎a 上一点 𝑃P 引平面 𝛼α 的垂线交 𝛼α 于 𝑂O，则 𝑎a 与 𝑃𝑂PO 所成角的余角被称为 直线与平面所成的角 ．特别地，若 𝑎 ∥𝛼a∥α 或 𝑎 ⊂𝛼a⊂α，则它们之间的夹角为 0∘0∘．
对于两个平面 𝛼α，𝛽β，它们的夹角被定义为与两条平面的交线 𝑙l 垂直的两条直线 𝑎,𝑏a,b（其中 𝑎 ⊂𝛼a⊂α，𝑏 ⊂𝛽b⊂β）所成的角．
两直线夹角定义与关系充要条件
- 两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角．
有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线 𝑙1,𝑙2l1,l2，它们的方向向量分别是 𝑠1(𝑚1,𝑛1,𝑝1)s1(m1,n1,p1)，𝑠2(𝑚2,𝑛2,𝑝2)s2(m2,n2,p2)，设 𝜑φ 为两直线夹角，我们可以得到 cos𝜑 =|𝑚1𝑚2+𝑛1𝑛2+𝑝1𝑝2|√𝑚21+𝑛21+𝑝21√𝑚22+𝑛22+𝑝22cosφ=|m1m2+n1n2+p1p2|m12+n12+p12m22+n22+p22.
- 𝑙1 ⟂𝑙2 ⟺ 𝑚1𝑚2 +𝑛1𝑛2 +𝑝1𝑝2 =0l1⟂l2⟺m1m2+n1n2+p1p2=0
- 𝑙1 ∥𝑙2 ⟺ 𝑚1𝑚2 =𝑛1𝑛2 =𝑝1𝑝2l1∥l2⟺m1m2=n1n2=p1p2.
三维向量与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 𝜑φ（𝜑 ∈[0,𝜋2]φ∈[0,π2]）称为直线与平面的夹角．
设直线向量 𝑠(𝑚,𝑛,𝑝)s(m,n,p)，平面法线向量 𝑓(𝑎,𝑏,𝑐)f(a,b,c)，那么以下命题成立：
- 角度的正弦值：sin𝜑 =|𝑎𝑚+𝑏𝑛+𝑐𝑝|√𝑎2+𝑏2+𝑐2√𝑚2+𝑛2+𝑝2sinφ=|am+bn+cp|a2+b2+c2m2+n2+p2
- 直线与平面平行 ⟺ 𝑎𝑚 +𝑏𝑛 +𝑐𝑝 =0⟺am+bn+cp=0
- 直线与平面垂直 ⟺ 𝑎𝑚 =𝑏𝑛 =𝑐𝑝⟺am=bn=cp
点到平面的距离
直线与平面的交点
直接联立直线方程和平面方程即可．
立体几何定理
三正弦定理
设二面角 𝑀－𝐴𝐵－𝑁M－AB－N 的度数为 𝛼α，在平面 𝑀M 上有一条射线 𝐴𝐶AC，它和棱 𝐴𝐵AB 所成角为 𝛽β，和平面 𝑁N 所成的角为 𝛾γ，则 sin𝛾 =sin𝛼 ⋅sin𝛽sinγ=sinα⋅sinβ．
三余弦定理
设 𝑂O 为平面上一点，过平面外一点 𝐵B 的直线 𝐵𝑂BO 在面上的射影为 𝐴𝑂AO，𝑂𝐶OC 为面上的一条直线，那么 ∠𝐶𝑂𝐵，∠𝐴𝑂𝐶，∠𝐴𝑂𝐵∠COB，∠AOC，∠AOB 三角的余弦关系为：cos∠𝐵𝑂𝐶 =cos∠𝐴𝑂𝐵 ⋅cos∠𝐴𝑂𝐶cos∠BOC=cos∠AOB⋅cos∠AOC（∠𝐴𝑂𝐶∠AOC，∠𝐴𝑂𝐵∠AOB 只能是锐角）．
参考资料
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