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DP 优化简介

引入

本页面列举了一些常见的动态规划（dynamic programming，DP）优化方法．所谓 DP 优化，是指许多动态规划问题虽然容易列出朴素的状态转移方程，但直接计算往往效率低下，因此需要借助一些技巧来降低时间复杂度．

这些方法彼此联系紧密，常常包含相似的思想，且往往需要结合多种技巧共同使用．因此，本文仅作粗略分类，侧重介绍一些最基本的思路．

利用常见技巧优化

许多动态规划问题的转移，可以通过常见的算法和数据结构进行优化．

这类技巧有两种常见的情形．第一种情形中，DP 问题有着如下状态转移方程：

𝑓(𝑖)=𝐹(𝑎𝑖,{𝑓(𝑗):𝑗<𝑖}).f(i)=F(ai,{f(j):j<i}).

其中，当前状态 𝑓(𝑖)f(i) 的计算依赖于当前的输入 𝑎𝑖ai 和之前整个序列的状态 {𝑓(𝑗) :𝑗 <𝑖}{f(j):j<i}．因此，可以维护一个数据结构，将每次 𝑓(𝑖)f(i) 的计算都看作是一次查询操作；而得到当前状态 𝑓(𝑖)f(i) 后，可以再执行一次修改操作，更新该数据结构，用于后续的转移．

第二种情形中，DP 问题有着如下状态转移方程：

𝑓(𝑖,⋅)=𝐹(𝑎𝑖,𝑓(𝑖−1,⋅)).f(i,⋅)=F(ai,f(i−1,⋅)).

其中，每个 𝑓(𝑖, ⋅)f(i,⋅) 都是一个数组或其他较复杂的对象．因此，虽然 𝑓(𝑖, ⋅)f(i,⋅) 只依赖于之前的单个状态，但是单次转移的复杂度很高，需要通过数据结构等技巧进行优化．

前缀和优化 DP

相关页面：前缀和

如果当前状态的计算依赖于之前状态的子段和，那么，可以通过维护前缀和来加速计算．其中，一类涉及高维前缀和的问题也称为 SOS DP．

习题：

• [Luogu P2513 [HAOI2009] 逆序对数列](https://www.luogu.com.cn/problem/P2513)
• AtCoder Educational DP Contest M - Candies

单调队列/单调栈优化 DP

主页面：单调队列/单调栈优化

如果当前状态依赖于之前状态的区间最值等信息时，可以通过维护单调队列、单调栈来加速计算．

线段树/树状数组优化 DP

相关页面：线段树、树状数组

如果每次状态转移时，查询的都是某段区间上的和、最值等信息，或是单次修改操作涉及区间更新时，可以通过维护线段树、树状数组来加速计算．

习题：

• AtCoder Educational DP Contest Q - Flowers
• AtCoder Educational DP Contest W - Intervals
• Codeforces 115 E. Linear Kingdom Races

CDQ 分治优化 DP

主页面：CDQ 分治优化 DP

类似前文，将整个 DP 过程看作是一系列查询和修改操作．对于有些问题，顺次计算复杂度过高，可以将整个查询和修改过程离线，利用 CDQ 分治加速计算．

CDQ 分治优化 DP 也常见于下列各类问题中：

• 基于 CDQ 分治的斜率优化 DP
• 分治优化斜率单调性 DP

倍增优化 DP

相关页面：倍增

有些问题中，需要将状态 𝑓(𝑖)f(i) 设为从初始状态开始，进行了 2𝑖2i 次转移时得到的结果．它利用了倍增的思想转化了原问题，因此常常称为倍增优化 DP．

有些时候，也会将状态转移方程类似

𝑓(𝑖,𝑗)=𝑓(𝑖−1,𝑓(𝑖−1,𝑗))f(i,j)=f(i−1,f(i−1,j))

的 DP 问题称为倍增（优化）DP．

习题：

• [Luogu P1081 [NOIP 2012 提高组] 开车旅行](https://www.luogu.com.cn/problem/P1081)
• Luogu P1613 跑路
• [Luogu P4739 [CERC2017] Donut Drone](https://www.luogu.com.cn/problem/P4739)

利用问题结构优化

许多动态规划问题具备如凸性、单调性等结构性质，合理利用这些性质可以快速求解．

斜率优化 DP

主页面：斜率优化

类似于上一节介绍的优化方法，利用问题的凸性，可以通过维护凸包加速单次转移．

四边形不等式优化 DP

主页面：四边形不等式优化

涉及的函数满足四边形不等式的 DP 问题，往往满足某种决策单调性．利用这一特性，有很多专门的方法可以降低计算复杂度．常见的问题类型包括一维决策单调性问题、区间分拆问题、区间合并问题等．

Slope Trick 优化 DP

主页面：Slope Trick

有些问题中，状态函数的差分（即斜率）在状态转移过程中更容易维护．这种优化也往往需要问题具有凸性．

WQS 二分/凸优化 DP

主页面：WQS 二分

对于带个数限制的最优化 DP 问题，如果不考虑个数限制时，问题更容易解决，且最优价值是关于该限制的凸函数，那么，可以通过 WQS 二分的方法简化计算．

利用数学方法优化

许多动态规划问题的转移，可以通过数学工具加速．

矩阵快速幂优化 DP

相关页面：快速幂

如果 DP 问题的状态转移方程可以写作一个自治的形式

𝑓(𝑖)=𝐹(𝑓(𝑖−1)),f(i)=F(f(i−1)),

也就是说，当前状态 𝑓(𝑖)f(i) 只取决于前一个状态 𝑓(𝑖 −1)f(i−1)，而不依赖于其他输入，那么，可以直接通过快速幂加速计算

𝑓(𝑛)=𝐹𝑛(𝑓(0))f(n)=Fn(f(0))

获得最终答案．由于单次操作 𝐹F 经常可以写作矩阵的形式，所以这一优化方法常称为矩阵快速幂优化 DP．实际上，任何满足结合律的变换（即任何 幺半群 内的元素）都可以应用该方法加速．

习题：

• [Luogu P1397 [NOI2013] 矩阵游戏](https://www.luogu.com.cn/problem/P1397)
• [Luogu P3176 [HAOI2015] 数字串拆分](https://www.luogu.com.cn/problem/P3176)
• Codeforces 576 D. Flights for Regular Customers
• [Luogu P6772 [NOI2020] 美食家](https://www.luogu.com.cn/problem/P6772)

FFT 优化 DP

相关页面：FFT

如果 DP 问题的状态转移方程是一个卷积的形式，那么，可以考虑用 FFT 加速转移．当然，根据具体的题目，也可能会用到其他多项式技术．

习题：

• Codeforces 553 E. Kyoya and Train
• Codeforces 1784 D. Wooden Spoon

Lagrange 插值优化 DP

相关页面：Lagrange 插值

有些 DP 问题的状态函数 𝑓(𝑖,𝑗)f(i,j) 是关于 𝑗j 的 𝑘k 次多项式函数．此时，可以直接暴力计算它在 𝑘 +1k+1 个点处的取值，并通过 Lagrange 插值求出 𝑓(𝑖, ⋅)f(i,⋅) 的表达式，进而优化转移甚至直接得到答案．

习题：

• Luogu P5223 Function
• [Luogu P4463 [集训队互测 2012] calc](https://www.luogu.com.cn/problem/P4463)
• [Luogu P5469 [NOI2019] 机器人](https://www.luogu.com.cn/problem/P5469)

通过简化状态优化

除了优化转移外，还可以通过简化状态降低计算复杂度．

DP 套 DP 与 DFA 最小化

主页面：DP 套 DP、DFA 最小化

一些 DP 问题的状态函数可以写成 𝑓(𝑖,𝑥)f(i,x) 的形式，但是 𝑥x 自身的转移较为复杂，甚至可能依赖于另一个 DP 问题．对于这类问题，可以首先为状态 𝑥x 的转移建立自动机，并通过 DFA 最小化的方法减少状态数量，再进行外层 DP．

状态设计优化 DP

主页面：状态设计优化

有些特殊的问题可以通过巧妙的状态设计大幅减少状态数量．

拓展阅读

• DP 优化方法大杂烩 by Alex Wei

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